华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
14．已知函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \in \mathbb{R}$ ，证：
（1）．$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且一致连续；
（2）． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明有界性
由 $\lim_{x\to +\infty} f(x)=A$，取 $\varepsilon=1$，存在 $X>0$，使得当 $x>X$ 时，$|f(x)-A|<1$，从而 $|f(x)|<|A|+1$。在闭区间 $[0,X]$ 上，$f(x)$ 连续，故有界，设界为 $M_1$。取 $M=\max\{M_1,|A|+1\}$，则对任意 $x\ge 0$，$|f(x)|\le M$，即有界。
公式：|f(x)| \le M = \max\{M_1, |A|+1\}
提示：注意闭区间上连续函数必有界，这是有界性的关键。
步骤 2/7
目标：证明一致连续性（利用极限）
对任意 $\varepsilon>0$，由极限定义，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，$|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}$。于是对任意 $x_1,x_2>X$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，即在 $(X,+\infty)$ 上一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-A|+|A-f(x_2)| < \varepsilon
提示：极限存在保证了无穷远处函数值波动很小，这是无穷区间一致连续的基础。
步骤 3/7
目标：证明一致连续性（结合闭区间）
在闭区间 $[0,X+1]$ 上，$f(x)$ 连续，从而一致连续，存在 $\delta_1>0$ 适用于该区间。取 $\delta=\min(\delta_1,1)$，则对任意 $x_1,x_2\ge 0$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况：两点均在 $[0,X+1]$ 内，由 $\delta_1$ 保证；两点均在 $(X,+\infty)$ 内，由极限性质保证；一点在左一点在右，则两点均落在 $[X,X+1]\subset[0,X+1]$，仍由闭区间一致连续性保证。因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
公式：\delta = \min(\delta_1, 1)
提示：注意边界处的衔接，取 $\delta\le 1$ 可避免跨度过大导致无法覆盖。
步骤 4/7
目标：证明平均值极限（分段积分）
对任意 $\varepsilon>0$，由极限定义，存在 $X>0$，当 $t>X$ 时，$|f(t)-A|<\varepsilon$。将积分分段：$\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^X f(t)\,dt + \int_X^x f(t)\,dt$。于是 $\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt - A = \frac{1}{x}\int_0^X f(t)\,dt + \frac{1}{x}\int_X^x (f(t)-A)\,dt$。
公式：\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt - A = \frac{1}{x}\int_0^X f(t)\,dt + \frac{1}{x}\int_X^x (f(t)-A)\,dt
提示：分段处理是处理无穷区间积分极限的常用技巧。
步骤 5/7
目标：估计第一项
第一项 $\frac{1}{x}\int_0^X f(t)\,dt$ 中，$\int_0^X f(t)\,dt$ 为常数，故当 $x\to +\infty$ 时，该项趋于 $0$。存在 $X_1>0$，使得当 $x>X_1$ 时，$\left|\frac{1}{x}\int_0^X f(t)\,dt\right|<\varepsilon$。
公式：\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^X f(t)\,dt = 0
提示：常数除以无穷大趋于0，这是简单但重要的极限。
步骤 6/7
目标：估计第二项
当 $x>X$ 时，第二项绝对值 $\left|\frac{1}{x}\int_X^x (f(t)-A)\,dt\right| \le \frac{1}{x}\int_X^x |f(t)-A|\,dt < \frac{1}{x}\int_X^x \varepsilon\,dt = \varepsilon\cdot\frac{x-X}{x} < \varepsilon$。
公式：\left|\frac{1}{x}\int_X^x (f(t)-A)\,dt\right| < \varepsilon
提示：利用 $|f(t)-A|<\varepsilon$ 放缩积分，注意 $\frac{x-X}{x}<1$。
步骤 7/7
目标：合并结论
取 $x>\max\{X, X_1\}$，则 $\left|\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt - A\right| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt = A$。
公式：\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt = A
提示：最终极限为 $A$，注意 $2\varepsilon$ 不影响任意性。
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