华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
17．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，又 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 为 $n$ 个正数，证明：在 $(0,1)$ 内存在一组互异的数 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ，使得
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\sum_{i=1}^{n} \frac{p_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} p_{i}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$，给定 $n$ 个正数 $p_1, p_2, \ldots, p_n$。需要证明存在互异的 $x_1, x_2, \ldots, x_n \in (0,1)$ 使得 $\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{f'(x_i)} = \sum_{i=1}^n p_i$。注意到右边是常数，左边是导数的倒数的加权和，联想到拉格朗日中值定理和介值定理。
公式：\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{f'(x_i)} = \sum_{i=1}^n p_i
提示：注意 $f$ 可导意味着连续，这是使用介值定理的前提。
步骤 2/5
目标：构造区间分割点
令总权重 $P = \sum_{i=1}^n p_i$。由于 $f$ 连续且 $f(0)=0, f(1)=1$，由介值定理，存在分点 $0 = a_0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n = 1$，使得 $f(a_k) = \frac{1}{P} \sum_{i=1}^k p_i$ 对 $k=1,2,\dots,n-1$ 成立。这些分点将区间 $[0,1]$ 分成 $n$ 个子区间 $[a_{i-1}, a_i]$。
公式：f(a_k) = \frac{\sum_{i=1}^k p_i}{P}, \quad k=0,1,\dots,n
提示：确保 $f(a_k)$ 的值严格递增且介于0和1之间，从而保证 $a_k$ 的存在性和互异性。
步骤 3/5
目标：在每个子区间上应用拉格朗日中值定理
对每个 $i=1,2,\dots,n$，在区间 $[a_{i-1}, a_i]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $x_i \in (a_{i-1}, a_i)$ 使得 $f'(x_i) = \frac{f(a_i) - f(a_{i-1})}{a_i - a_{i-1}}$。由构造知 $f(a_i) - f(a_{i-1}) = \frac{p_i}{P}$，代入得 $f'(x_i) = \frac{p_i / P}{a_i - a_{i-1}}$。
公式：f'(x_i) = \frac{p_i / P}{a_i - a_{i-1}}
提示：注意 $a_i - a_{i-1} > 0$，且 $p_i > 0$，因此 $f'(x_i) > 0$，但题目并未要求导数非负，这里由构造自然保证。
步骤 4/5
目标：计算待证和式并化简
由上式可得 $\frac{1}{f'(x_i)} = \frac{P(a_i - a_{i-1})}{p_i}$，从而 $\frac{p_i}{f'(x_i)} = P(a_i - a_{i-1})$。对所有 $i$ 求和：$\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{f'(x_i)} = P \sum_{i=1}^n (a_i - a_{i-1})$。由于 $a_0=0, a_n=1$，相邻项差的和为 $a_n - a_0 = 1$，因此 $\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{f'(x_i)} = P = \sum_{i=1}^n p_i$。
公式：\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{f'(x_i)} = P \sum_{i=1}^n (a_i - a_{i-1}) = P
提示：注意 $\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i-1})$ 是区间长度的总和，等于1，这是关键化简步骤。
步骤 5/5
目标：验证互异性并得出结论
由于每个 $x_i$ 取自互不相交的开区间 $(a_{i-1}, a_i)$，因此 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 互异。至此，我们证明了存在这样一组互异的点满足等式。
公式：x_i \in (a_{i-1}, a_i), \quad i=1,2,\dots,n
提示：互异性由区间不交保证，无需额外证明。
步骤 6/6
目标：说明 $x_i$ 互异
由于 $x_i \in (y_{i-1}, y_i)$，且区间 $(y_{i-1}, y_i)$ 互不相交，故 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 互异。
提示：区间不重叠保证互异性。
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