华东师范大学 2018年数学分析第0题

设 $L = \lim_{a \to x} \frac{x}{\sin a - \sin x} \cdot \ln\left(\frac{\sin a}{\sin x}\right)$，则原极限 $f(x) = e^L$。由于 $a \to x$ 时 $\sin a \to \sin x$，且分母 $\sin a - \sin x \to 0$，这是 $0/0$ 型不定式，可用等价无穷小或洛必达法则处理。

令 $t = a - x$，当 $t \to 0$ 时，$\sin a = \sin(x+t) \approx \sin x + t \cos x$。于是 $\frac{\sin a}{\sin x} \approx 1 + \frac{t \cos x}{\sin x}$，$\ln\left(\frac{\sin a}{\sin x}\right) \approx \frac{t \cos x}{\sin x}$。分母 $\sin a - \sin x \approx t \cos x$。代入得 $\frac{x}{\sin a - \sin x} \cdot \ln\left(\frac{\sin a}{\sin x}\right) \approx \frac{x}{t \cos x} \cdot \frac{t \cos x}{\sin x} = \frac{x}{\sin x}$。取极限得 $L = \frac{x}{\sin x}$。

由 $L = \frac{x}{\sin x}$，得 $f(x) = e^{x/\sin x}$。此表达式要求 $\sin x \neq 0$，即 $x \neq k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。在这些点处原极限表达式无定义，因此定义域为 $\{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$。

间断点为 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。当 $x \to k\pi$ 时，$\sin x \sim (-1)^k (x - k\pi)$，于是 $\frac{x}{\sin x} \sim \frac{k\pi}{(-1)^k (x - k\pi)}$。当 $k \neq 0$ 时，指数趋于 $\pm \infty$，导致 $f(x)$ 趋于 $+\infty$ 或 $0$，左右极限不相等且至少一侧为无穷大，故为第二类间断点（无穷间断点）。当 $k=0$ 时，$x=0$，$\frac{x}{\sin x} \to 1$，但 $f(0)$ 无定义，且左右极限：$x \to 0^+$ 时 $\frac{x}{\sin x} \to 1$，$f(x) \to e$；$x \to 0^-$ 时同样趋于 $e$，但极限存在不等于函数值（无定义），故为可去间断点？注意：实际上 $x=0$ 时原极限表达式底数 $\sin a / \sin 0$ 发散，因此 $x=0$ 也是无定义点，但左右极限均为 $e$，所以 $x=0$ 是可去间断点。而 $k \neq 0$ 时均为第二类间断点。

综合以上分析：$f(x)$ 的所有间断点为 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。其中 $x=0$（即 $k=0$）为可去间断点（因为左右极限存在且相等为 $e$，但函数无定义）；当 $k \neq 0$ 时，$x = k\pi$ 为第二类间断点（无穷间断点），因为至少一侧极限为无穷大。

函数 $f(x)=e^{x/\sin x}$ 的定义域为 $x\neq k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$，所有 $x=k\pi$ 均为第二类无穷间断点。

综合以上分析： - 间断点为 $x=k\pi\;(k\in\mathbb{Z})$。 - $x=0$（即 $k=0$）为可去间断点（第一类），因为 $\lim_{x\to 0}f(x)=e$ 存在有限。 - $x=k\pi\;(k\neq 0)$ 为第二类（无穷）间断点，因为左右极限至少有一侧为无穷大。