华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
6．若广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 皆绝对收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件与命题
题目给出：广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 皆绝对收敛，即 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx < +\infty$ 且 $\int_a^{+\infty} |g(x)| \, dx < +\infty$。需要判断 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 是否一定收敛。
公式：$\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx < +\infty, \quad \int_a^{+\infty} |g(x)| \, dx < +\infty$
提示：注意绝对收敛与条件收敛的区别，这里条件更强，但结论仍需验证。
步骤 2/5
目标：分析可能的误区
直觉上，两个绝对可积函数的乘积可能收敛，但并非必然。例如，若 $f$ 和 $g$ 都是平方可积，由柯西-施瓦茨不等式可知乘积可积。但这里只有绝对可积，不一定平方可积。因此需要构造反例。
公式：柯西-施瓦茨不等式：$\left(\int |fg|\right)^2 \le \int f^2 \cdot \int g^2$
提示：不要混淆绝对可积与平方可积，前者是 $L^1$，后者是 $L^2$。
步骤 3/5
目标：尝试构造反例：利用尖峰函数
考虑在区间 $[n, n+2^{-n}]$ 上定义 $f(x)=g(x)=2^{n/2}$，其余区间为0。则 $f$ 和 $g$ 的绝对积分分别为：
$\int |f| = \sum_{n=1}^\infty 2^{n/2} \cdot 2^{-n} = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n/2} = \frac{1}{1-2^{-1/2}} < +\infty$，同理 $\int |g|$ 收敛。
但乘积 $f(x)g(x)=2^n$ 在宽度 $2^{-n}$ 上的面积为 $2^n \cdot 2^{-n}=1$，因此 $\int fg = \sum_{n=1}^\infty 1$ 发散。
公式：$\int_{n}^{n+2^{-n}} 2^{n/2} \, dx = 2^{-n/2}$，$\int_{n}^{n+2^{-n}} 2^n \, dx = 1$
提示：注意尖峰的高度和宽度要精心设计，使得每个函数的积分是收敛级数，而乘积的积分是发散级数。
步骤 4/5
目标：验证反例的合理性
取 $a=1$（或任意正数），定义 $f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{n/2} \cdot \chi_{[n, n+2^{-n}]}(x)$，其中 $\chi$ 为示性函数。则 $f$ 和 $g$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负，且 $\int_1^\infty f = \sum 2^{-n/2} < \infty$，故绝对收敛。但 $\int_1^\infty fg = \sum 1 = +\infty$，发散。因此原命题错误。
公式：$\int_1^\infty f(x)g(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty 1 = +\infty$
提示：反例中函数不连续，但广义积分理论允许分段连续函数，不影响结论。
步骤 5/5
目标：得出结论
该命题为假。两个绝对收敛的广义积分，其乘积的积分不一定收敛。反例表明，即使 $f$ 和 $g$ 各自绝对可积，$fg$ 的积分可能发散。
公式：无
提示：记住这个经典反例，它说明了 $L^1$ 空间对乘法不封闭。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在反例使得 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 和 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 绝对收敛，但 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 发散，因此原命题错误。
提示：反例构造的关键是让 $f$ 和 $g$ 在很窄的区间上取很大的值，使得各自积分小但乘积积分大。
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