华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant 1$ ，证明不等式
$$
\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \geq \int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件，得出函数基本性质
已知 $f(0)=0$，且 $0 \leq f'(x) \leq 1$。由导数非负知 $f(x)$ 单调递增。对任意 $x \in [0,1]$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $f(x)=f(x)-f(0)=f'(\xi)x \leq 1 \cdot x = x$，因此 $0 \leq f(x) \leq x$。
公式：$0 \leq f(x) \leq x$
提示：注意利用 $f(0)=0$ 和导数有界来估计函数值的范围。
步骤 2/5
目标：构造函数，将目标转化为证明单调性
定义辅助函数 $F(t)=\left(\int_0^t f(x) \, dx\right)^2 - \int_0^t f^3(x) \, dx$，其中 $t \in [0,1]$。显然 $F(0)=0$，若能证明 $F'(t) \geq 0$，则 $F(1) \geq 0$，即原不等式成立。
公式：$F(t)=\left(\int_0^t f(x) \, dx\right)^2 - \int_0^t f^3(x) \, dx$
提示：构造函数法是处理积分不等式的常用技巧，注意端点条件。
步骤 3/5
目标：求导并化简
对 $F(t)$ 求导：$F'(t)=2\left(\int_0^t f(x) \, dx\right) f(t) - f^3(t)=f(t)\left[2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t)\right]$。由于 $f(t) \geq 0$，只需证明括号内非负。
公式：$F'(t)=f(t)\left[2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t)\right]$
提示：求导时注意积分上限为变量的求导法则。
步骤 4/5
目标：构造辅助不等式并证明其非负
令 $G(t)=2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t)$，则 $G(0)=0$。求导得 $G'(t)=2f(t)-2f(t)f'(t)=2f(t)(1-f'(t))$。由条件 $0 \leq f'(t) \leq 1$ 知 $1-f'(t) \geq 0$，且 $f(t) \geq 0$，故 $G'(t) \geq 0$，$G(t)$ 单调递增，因此 $G(t) \geq G(0)=0$。
公式：$G'(t)=2f(t)(1-f'(t)) \geq 0$
提示：注意 $G(t)$ 的导数推导中要正确使用链式法则。
步骤 5/5
目标：回到原函数，完成证明
由 $G(t) \geq 0$ 得 $2\int_0^t f(x) \, dx \geq f^2(t)$，代入 $F'(t)=f(t)G(t) \geq 0$，故 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。又 $F(0)=0$，所以 $F(1) \geq 0$，即 $\left(\int_0^1 f(x) \, dx\right)^2 \geq \int_0^1 f^3(x) \, dx$。
公式：$\left(\int_0^1 f(x) \, dx\right)^2 \geq \int_0^1 f^3(x) \, dx$
提示：最终结论需明确写出，并确认所有条件已使用。
步骤 6/7
目标：判断 $F(t)$ 的单调性
由 $g(t) \ge 0$ 得 $F'(t) = f(t)g(t) \ge 0$，故 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
提示：注意 $f(t) \ge 0$ 和 $g(t) \ge 0$ 的乘积非负。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于 $F(0)=0$ 且 $F(t)$ 单调递增，有 $F(1) \ge F(0)=0$，即 $\left(\int_0^1 f(x) \, dx\right)^2 \ge \int_0^1 f^3(x) \, dx$。
提示：注意 $F(1)$ 即为要证明的不等式。
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