华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
5．若 $a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}(n=1,2, \ldots)$ 且级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n}$ 都收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}$ 也收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与待证结论
已知对任意正整数 $n$，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$，且级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{+\infty} c_n$ 都收敛。需要判断级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ 是否收敛。
公式：$a_n \leq b_n \leq c_n$，$\sum a_n$ 收敛，$\sum c_n$ 收敛
提示：注意条件中不等式方向，以及收敛级数的基本性质。
步骤 2/5
目标：引入部分和数列
设 $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$，$B_n = \sum_{k=1}^n b_k$，$C_n = \sum_{k=1}^n c_k$。由 $a_k \leq b_k \leq c_k$ 可得 $A_n \leq B_n \leq C_n$。已知 $\lim_{n\to\infty} A_n = A$，$\lim_{n\to\infty} C_n = C$，且 $A$ 和 $C$ 均为有限数。
公式：$A_n \leq B_n \leq C_n$，$\lim A_n = A$，$\lim C_n = C$
提示：部分和的不等式由通项不等式逐项累加得到。
步骤 3/5
目标：分析直接使用夹逼定理的局限性
由于 $A$ 和 $C$ 不一定相等，不能直接由 $A_n \leq B_n \leq C_n$ 推出 $B_n$ 收敛。例如，若 $A=0$，$C=1$，$B_n$ 可能在 $0$ 和 $1$ 之间振荡而不收敛。因此需要另寻方法。
公式：夹逼定理要求 $\lim A_n = \lim C_n$
提示：不要误以为有界就收敛，数列收敛需要极限存在且唯一。
步骤 4/5
目标：构造差值级数并利用比较判别法
由 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 得 $0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n$。考虑级数 $\sum (c_n - a_n)$，由于 $\sum c_n$ 和 $\sum a_n$ 都收敛，它们的差 $\sum (c_n - a_n)$ 也收敛（收敛级数逐项相减仍收敛）。于是正项级数 $\sum (b_n - a_n)$ 被收敛的正项级数 $\sum (c_n - a_n)$ 控制，由比较判别法知 $\sum (b_n - a_n)$ 收敛。
公式：$0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n$，$\sum (c_n - a_n)$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum (b_n - a_n)$ 收敛
提示：比较判别法适用于正项级数，这里 $b_n - a_n \geq 0$ 是正项。
步骤 5/5
目标：由收敛级数的和得到结论
将 $b_n$ 写为 $b_n = a_n + (b_n - a_n)$。由于 $\sum a_n$ 收敛，且 $\sum (b_n - a_n)$ 收敛，两个收敛级数的和 $\sum b_n$ 也收敛。因此级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ 收敛。
公式：$b_n = a_n + (b_n - a_n)$，$\sum a_n$ 收敛，$\sum (b_n - a_n)$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum b_n$ 收敛
提示：收敛级数的线性组合仍收敛。
步骤 6/9
目标：修正反例：使中间级数发散
取 $b_n = \frac{1}{n}$（调和级数发散），但需满足 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 且上下界级数收敛。令 $a_n = 0$，$c_n = \frac{1}{n}$，但 $\sum c_n$ 发散，不满足条件。再尝试：令 $a_n = -\frac{1}{n^2}$，$c_n = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n}$，则 $\sum c_n$ 发散（因为 $\sum \frac{1}{n}$ 发散）。因此无法用简单的调和级数。
公式：b_n = \frac{1}{n}, \quad \sum \frac{1}{n} \text{ 发散}
提示：上下界级数必须收敛，因此不能直接包含发散部分。
步骤 7/9
目标：正确反例：利用正负抵消构造发散
令 $b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum b_n$ 条件收敛（莱布尼茨），但绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散（$p=1/2<1$），因此 $\sum b_n$ 条件收敛，仍不是发散。要得到发散，可令 $b_n = \frac{1}{n}$ 但上下界需调整。实际上，经典反例是：取 $a_n = -\frac{1}{n}$，$c_n = \frac{1}{n}$，但上下界发散。因此命题在一般项下其实成立？不，有标准反例：取 $a_n = -\frac{1}{n^2}$，$c_n = \frac{1}{n^2}$，中间取 $b_n = \frac{(-1)^n}{n}$，但前面已验证不等式不成立。
公式：b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \quad \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \text{ 发散}
提示：条件收敛级数本身收敛，不能作为发散反例。
步骤 8/9
目标：最终反例：利用上下界波动构造发散中间项
令 $b_n = \frac{(-1)^n}{n}$，但取 $a_n = \min\left(0, \frac{(-1)^n}{n} - \frac{1}{n^2}\right)$，$c_n = \max\left(0, \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$，则 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 成立，且 $|a_n| \leq \frac{1}{n^2}$，$|c_n| \leq \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n}$？注意 $c_n$ 可能为 $\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n^2}$ 的正部，其绝对值不超过 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$，但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，因此 $\sum c_n$ 不一定收敛。这个构造复杂且易错。
公式：a_n = \min\left(0, b_n - \frac{1}{n^2}\right), \quad c_n = \max\left(0, b_n + \frac{1}{n^2}\right)
提示：需要确保 $\sum a_n$ 和 $\sum c_n$ 绝对收敛，通常取 $a_n = -\frac{1}{n^2}$，$c_n = \frac{1}{n^2}$ 最简单，但此时中间只能放绝对值小于 $\frac{1}{n^2}$ 的项，这样的级数必绝对收敛，无法构造发散。因此原命题实际上成立？不，经典结论是：若 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 且 $\sum a_n$ 与 $\sum c_n$ 收敛，则 $\sum b_n$ 收敛。证明：$0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n$，而 $\sum (c_n - a_n)$ 收敛（收敛级数之差），由正项级数比较判别法知 $\sum (b_n - a_n)$ 收敛，从而 $\sum b_n = \sum a_n + \sum (b_n - a_n)$ 收敛。因此命题正确。
步骤 9/9
目标：总结命题的正确性
由 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 得 $0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n$。由于 $\sum a_n$ 与 $\sum c_n$ 收敛，则 $\sum (c_n - a_n)$ 收敛（收敛级数的差）。$b_n - a_n \geq 0$，由正项级数的比较判别法，$\sum (b_n - a_n)$ 收敛。于是 $\sum b_n = \sum a_n + \sum (b_n - a_n)$ 收敛。因此原命题成立。
公式：0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n, \quad \sum (c_n - a_n) \text{ 收敛} \Rightarrow \sum (b_n - a_n) \text{ 收敛}
提示：关键在于将不等式转化为非负项的比较，利用正项级数比较判别法。
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