华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
11．计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$
其中 $\sum$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，$a>0$ 为常数。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确曲面与方向
曲面 Σ 是下半球面 \(z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\) 的上侧。由于下半球面的外法向指向下方（z分量为负），而“上侧”意味着法向量指向z增加的方向，因此这里的上侧实际上是内侧（指向球心）。解题时需注意投影符号。
公式：曲面方程：\(z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\)，\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\)
提示：注意“上侧”与“外侧”的区别，下半球面的上侧是内侧。
步骤 2/7
目标：分解曲面积分为两部分
将曲面积分分解为两个部分：\(I_1 = \iint_{\Sigma} \frac{a x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \, dy\, dz\) 和 \(I_2 = \iint_{\Sigma} \frac{(z+a)^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \, dx\, dy\)。在曲面 Σ 上，\(\sqrt{x^2+y^2+z^2} = a\)，因此分母可简化为常数 a。
公式：\iint_{\Sigma} \frac{a x \, dy\, dz + (z+a)^2 \, dx\, dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = I_1 + I_2
提示：利用球面方程简化分母是本题的关键。
步骤 3/7
目标：计算 I₂（投影到 xy 平面）
由于分母为 a，有 \(I_2 = \iint_{\Sigma} \frac{(z+a)^2}{a} \, dx\, dy\)。曲面 Σ 投影到 xy 平面为圆盘 \(x^2+y^2 \le a^2\)，上侧对应 dxdy 取正。代入 \(z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\)，得 \((z+a)^2 = (a - \sqrt{a^2 - r^2})^2\)。使用极坐标：\(I_2 = \frac{1}{a} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a (a - \sqrt{a^2 - r^2})^2 r\, dr\)。
公式：I_2 = \frac{1}{a} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a (a - \sqrt{a^2 - r^2})^2 r\, dr
提示：注意投影到 xy 平面时，面积元 dxdy 的符号由曲面侧决定。
步骤 4/7
目标：计算 I₂ 的内层积分
令 \(u = a^2 - r^2\)，则 \(du = -2r\, dr\)，积分限变为 u 从 a² 到 0。内层积分化为 \(\frac12 \int_0^{a^2} (a - \sqrt{u})^2 du\)。展开 \((a - \sqrt{u})^2 = a^2 - 2a\sqrt{u} + u\)，逐项积分：\(\int_0^{a^2} a^2 du = a^4\)，\(\int_0^{a^2} -2a\sqrt{u}\, du = -\frac{4a^4}{3}\)，\(\int_0^{a^2} u\, du = \frac{a^4}{2}\)。总和为 \(\frac{a^4}{6}\)，乘以 \(\frac12\) 得 \(\frac{a^4}{12}\)。再乘以角度积分 \(2\pi\) 和系数 \(\frac{1}{a}\)，得 \(I_2 = \frac{\pi a^3}{6}\)。
公式：\int_0^a (a - \sqrt{a^2 - r^2})^2 r\, dr = \frac{a^4}{12}
提示：换元时注意积分限的变化，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：计算 I₁（投影到 yz 平面）
分母为 a，故 \(I_1 = \iint_{\Sigma} x \, dy\, dz\)。使用球坐标参数化：\(x = a \sin\phi \cos\theta\)，\(y = a \sin\phi \sin\theta\)，\(z = a \cos\phi\)，下半球面对应 \(\phi \in [\pi/2, \pi]\)。上侧（内侧）的法向量为 \((-\sin\phi\cos\theta, -\sin\phi\sin\theta, -\cos\phi)\)，面积元 \(d\mathbf{S}\) 的 x 分量为 \(-a^2 \sin^2\phi \cos\theta \, d\phi d\theta\)，即 \(dy\,dz = -a^2 \sin^2\phi \cos\theta \, d\phi d\theta\)。被积函数 \(x \, dy\,dz = -a^3 \sin^3\phi \cos^2\theta \, d\phi d\theta\)。
公式：x \, dy\,dz = -a^3 \sin^3\phi \cos^2\theta \, d\phi d\theta
提示：参数化时注意曲面侧对应的法向量方向，确保投影面积元的符号正确。
步骤 6/7
目标：积分计算 I₁
先对 θ 积分：\(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \pi\)。再对 φ 积分：\(\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^3\phi \, d\phi = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin\phi (1-\cos^2\phi) d\phi\)，令 \(u = \cos\phi\)，则 \(du = -\sin\phi d\phi\)，积分限变为 u 从 0 到 -1，得 \(\int_{-1}^0 (1-u^2) du = \frac{2}{3}\)。因此 \(I_1 = -a^3 \cdot \pi \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2\pi a^3}{3}\)。
公式：I_1 = -\frac{2\pi a^3}{3}
提示：计算 sin³φ 的积分时，使用换元法可简化计算。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
将 I₁ 和 I₂ 相加：\(I_1 + I_2 = -\frac{2\pi a^3}{3} + \frac{\pi a^3}{6} = -\frac{4\pi a^3}{6} + \frac{\pi a^3}{6} = -\frac{3\pi a^3}{6} = -\frac{\pi a^3}{2}\)。
公式：\iint_{\Sigma} \frac{a x \, dy\, dz + (z+a)^2 \, dx\, dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = -\frac{\pi a^3}{2}
提示：最终结果应化简为最简形式，注意符号。
步骤 8/8
目标：乘以系数得到最终结果
乘以 $\frac{1}{a}$ 和 $2\pi$：
$$I = \frac{1}{a} \cdot 2\pi \cdot \frac{17a^4}{12} = \frac{17\pi a^3}{6}.$$
提示：注意不要遗漏系数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。