华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
10．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{n-1}}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：处理内层求和
内层求和为 \(\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{n-1}}\)，分母与 \(k\) 无关，可提出：
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{n} k
\]
利用前 \(n\) 个自然数和公式 \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)，得：
\[
\frac{1}{2^{n-1}} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2^n}
\]
公式：\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
提示：注意分母 \(2^{n-1}\) 在提出后与 \(\frac{1}{2}\) 相乘得到 \(2^n\)，不要漏掉指数变化。
步骤 2/5
目标：将原级数化为单重求和
原级数 \(\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{n-1}}\) 化简为：
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n(n+1)}{2^n}
\]
公式：\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n(n+1)}{2^n}
提示：此时级数已转化为标准形式，便于使用已知求和公式。
步骤 3/5
目标：拆分级数为两个已知级数
将 \(\frac{n(n+1)}{2^n}\) 展开为 \(\frac{n^2}{2^n} + \frac{n}{2^n}\)，于是：
\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}
\]
公式：n(n+1) = n^2 + n
提示：拆分后分别求和，避免直接处理复杂形式。
步骤 4/5
目标：利用已知幂级数公式求和
已知当 \(|x|<1\) 时：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}
\]
代入 \(x = \frac{1}{2}\)：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})}{(1-\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = 6
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}
提示：注意公式中 \(x\) 的指数要与求和形式匹配，这里 \(x=1/2\) 直接代入。
步骤 5/5
目标：相加得到最终结果
将两个部分和相加：
\[
S = 6 + 2 = 8
\]
公式：S = 6 + 2 = 8
提示：计算时注意分数运算，避免算术错误。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将两部分结果相加：$S = 6 + 2 = 8$。因此原级数的和为 $8$。
公式：$S = 8$
提示：最终结果是一个整数，可代入部分项验证（如 $n=1,2,3$ 的部分和）以确认正确性。
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