华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
16．设级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上处处收玫，每一个 $u_{n}(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续可导，且存在常数 $M>0$ ，使得 $\left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 对任意 $x \in[a, b]$ 及 $n \in \mathbb{N}_{+}$成立，证明：$\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与证明目标
已知级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上处处收敛，每个 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，且存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\in[a,b]$ 及 $n\in\mathbb{N}_+$，有 $\left|\sum_{k=1}^{n} u_k'(x)\right| \leq M$。需要证明该级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：$\left|\sum_{k=1}^{n} u_k'(x)\right| \leq M$
提示：注意条件中是对部分和的导数一致有界，而非对单个导数有界，这是关键。
步骤 2/5
目标：构造部分和函数并分析其导数性质
设 $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x)$，则 $S_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，且 $S_n'(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k'(x)$。由已知条件，对所有 $n$ 和 $x\in[a,b]$，有 $|S_n'(x)| \leq M$，即导函数族 $\{S_n'(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致有界。
公式：$S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x), \quad S_n'(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k'(x)$
提示：部分和的导数就是导数部分和，这是线性性质。
步骤 3/5
目标：利用微分中值定理导出等度连续性
对任意 $x,y\in[a,b]$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间，使得 $|S_n(x)-S_n(y)| = |S_n'(\xi)|\cdot|x-y| \leq M|x-y|$。该不等式对所有 $n$ 成立，因此函数列 $\{S_n(x)\}$ 是 $M$-Lipschitz 连续的，从而在 $[a,b]$ 上等度连续。
公式：$|S_n(x)-S_n(y)| \leq M|x-y|$
提示：等度连续的关键是 Lipschitz 常数与 $n$ 无关。
步骤 4/5
目标：结合点态收敛与等度连续性证明一致收敛
已知 $\{S_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上逐点收敛到 $S(x)$（因为级数处处收敛），且 $\{S_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上等度连续。根据经典结论：在紧区间上，等度连续且逐点收敛的函数列必一致收敛。证明思路：对任意 $\varepsilon>0$，由等度连续性存在 $\delta>0$，将区间分成有限个小区间，在每个小区间上利用点态收敛得到一致逼近，最终得到整体一致收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} S_n(x) = S(x), \quad \forall x\in[a,b]$
提示：闭区间上的等度连续+点态收敛蕴含一致收敛，这是分析中的重要定理。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$S_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $S(x)$，即原级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛
提示：注意一致收敛是整体性质，需要验证对任意 $\varepsilon>0$ 存在与 $x$ 无关的 $N$。
步骤 6/6
目标：由一致 Cauchy 准则得到一致收敛性
由第5步可知，$\{S_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上是一致 Cauchy 列，因此它在 $[a,b]$ 上一致收敛。而 $S_n(x)$ 正是级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的部分和，故原级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：一致 Cauchy 准则：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n,m>N, \forall x \in [a,b]: |S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon$
提示：一致收敛的证明通常归结为证明部分和序列是一致 Cauchy 列。
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