华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
7．计算极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别黎曼和的形式
观察到极限表达式为 \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\frac{k\pi}{n}}\)，这类似于黎曼和 \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\)，但自变量为 \(\frac{k\pi}{n}\)。为了匹配积分变量，引入因子 \(\frac{\pi}{\pi}\)，将表达式改写为：
\[
\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}.
\]
公式：\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k\pi}{n}\right)
提示：注意黎曼和的标准形式中自变量是 \(\frac{k}{n}\)，这里多了一个 \(\pi\)，需要调整系数。
步骤 2/5
目标：转化为定积分
令 \(\Delta x = \frac{\pi}{n}\)，则当 \(n \to \infty\) 时，和式 \(\frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}\) 趋近于积分 \(\int_0^\pi \sqrt{1+\cos x}\, dx\)。因此原极限化为：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sqrt{1+\cos x}\, dx.
\]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \int_0^\pi f(x)\, dx
提示：积分区间是从 \(0\) 到 \(\pi\)，因为 \(k=1\) 时 \(\frac{\pi}{n} \to 0\)，\(k=n\) 时 \(\frac{n\pi}{n}=\pi\)。
步骤 3/5
目标：化简被积函数
利用三角恒等式 \(1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}\)，则 \(\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2} \left|\cos\frac{x}{2}\right|\)。在区间 \([0,\pi]\) 上，\(\frac{x}{2} \in [0,\frac{\pi}{2}]\)，余弦非负，因此绝对值可去掉：
\[
\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}.
\]
公式：1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}, \quad \sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2}\cos\frac{x}{2} \quad (x\in[0,\pi])
提示：注意余弦在 \([0,\pi/2]\) 上非负，所以绝对值可以直接去掉，否则需要分段讨论。
步骤 4/5
目标：计算积分
计算积分 \(\int_0^\pi \sqrt{1+\cos x}\, dx = \sqrt{2} \int_0^\pi \cos\frac{x}{2}\, dx\)。令 \(u = \frac{x}{2}\)，则 \(dx = 2\, du\)，积分限变为 \(u=0\) 到 \(u=\frac{\pi}{2}\)，于是：
\[
\sqrt{2} \int_0^{\pi/2} \cos u \cdot 2\, du = 2\sqrt{2} \int_0^{\pi/2} \cos u\, du = 2\sqrt{2} \left[\sin u\right]_0^{\pi/2} = 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}.
\]
公式：\int_0^\pi \sqrt{1+\cos x}\, dx = 2\sqrt{2}
提示：换元时注意积分限的变化，并正确计算 \(\sin(\pi/2)=1\)。
步骤 5/5
目标：乘回系数得到最终极限值
将积分结果乘以系数 \(\frac{1}{\pi}\)，得到极限值：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{\pi} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}.
\]
公式：\frac{2\sqrt{2}}{\pi}
提示：不要忘记乘以 \(1/\pi\)，这是常见遗漏点。
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