华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
12．已知函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上收敛于连续函数 $f(x)$ 。证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充要条件为：对任意数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x_{0}$ ，有
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证命题
已知函数列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上逐点收敛于连续函数 $f(x)$。要证明：$\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充要条件是：对任意数列 $\{x_n\}\subset[a,b]$ 且 $x_n\to x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty} f_n(x_n)=f(x_0)$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x_n)=f(x_0)
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛的定义，以及连续函数在紧集上的性质。
步骤 2/5
目标：必要性证明：由一致收敛推出条件成立
假设 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。取任意数列 $\{x_n\}\subset[a,b]$ 且 $x_n\to x_0$。由于 $f$ 连续，当 $n$ 充分大时，有 $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$。于是对充分大的 $n$：$|f_n(x_n)-f(x_0)|\le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$。因此 $\lim f_n(x_n)=f(x_0)$。
公式：|f_n(x_n)-f(x_0)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x_0)|
提示：利用三角不等式将目标拆分为一致收敛和函数连续两部分，注意一致收敛的 $N$ 与 $x$ 无关。
步骤 3/5
目标：充分性证明：假设条件成立，用反证法证一致收敛
假设条件成立，但 $\{f_n\}$ 不一致收敛于 $f$。由不一致收敛的定义，存在 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $k\in\mathbb{N}$，存在 $n_k>k$ 和 $x_{n_k}\in[a,b]$，满足 $|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_{n_k})|\ge \varepsilon_0$。由于 $[a,b]$ 紧致，数列 $\{x_{n_k}\}$ 有收敛子列，仍记作 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $x_0\in[a,b]$。
公式：|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_{n_k})| \ge \varepsilon_0
提示：不一致收敛的否定形式要准确写出：存在 $\varepsilon_0>0$，对任意 $N$，存在 $n>N$ 和 $x\in[a,b]$ 使得 $|f_n(x)-f(x)|\ge\varepsilon_0$。
步骤 4/5
目标：充分性证明：推导矛盾
考虑 $|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_0)| \ge |f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_{n_k})| - |f(x_{n_k})-f(x_0)| \ge \varepsilon_0 - |f(x_{n_k})-f(x_0)|$。由于 $f$ 连续，当 $k$ 充分大时，$|f(x_{n_k})-f(x_0)|<\varepsilon_0/2$，于是 $|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_0)|\ge \varepsilon_0/2>0$。这意味着 $f_{n_k}(x_{n_k})$ 不趋向于 $f(x_0)$，与条件矛盾。因此假设不成立，$\{f_n\}$ 必一致收敛。
公式：|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_0)| \ge \varepsilon_0 - |f(x_{n_k})-f(x_0)|
提示：注意反证法构造的子列满足 $x_{n_k}\to x_0$，但函数值差有正下界，从而与条件矛盾。
步骤 5/5
目标：总结结论
必要性已证：一致收敛推出条件成立；充分性已证：条件成立推出一致收敛。因此原命题成立：函数列在闭区间上逐点收敛到连续函数时，一致收敛等价于对任何收敛于点 $x_0$ 的点列 $\{x_n\}$，都有 $f_n(x_n)\to f(x_0)$。
公式：\text{一致收敛} \iff \forall \{x_n\}\subset[a,b],\, x_n\to x_0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} f_n(x_n)=f(x_0)
提示：该结论是函数列一致收敛性的一个重要刻画，常用于判断一致收敛。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上，我们证明了：函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于连续函数 $f$ 的充要条件是，对任意收敛于 $x_0$ 的点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$，都有 $\lim_{n\to\infty} f_n(x_n) = f(x_0)$。
公式：\{f_n\} \rightrightarrows f \iff \left( \forall x_n \to x_0 \Rightarrow \lim f_n(x_n) = f(x_0) \right)
提示：该结论是函数列一致收敛性的一个等价刻画，常用于理论证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。