华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
4．若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内均一致连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $(0,1)$ 内也一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|h(x_1)-h(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x_1,x_2\in I,\ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |h(x_1)-h(x_2)|<\varepsilon
提示：一致连续强调 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置，这是与普通连续的关键区别。
步骤 2/5
目标：分析开区间上一致连续函数的有界性
在有限开区间 $(0,1)$ 上，若函数一致连续，则它必有界。这是因为一致连续函数可以连续延拓到闭区间 $[0,1]$ 上（利用柯西收敛准则），而闭区间上的连续函数有界。因此 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上均有界。
公式：\exists M>0,\ \forall x\in(0,1),\ |f(x)|\le M,\ |g(x)|\le M
提示：注意：在无限区间或开区间上，一致连续不一定有界，但在有限开区间上一定成立。
步骤 3/5
目标：利用三角不等式估计乘积的差
设 $|f(x)|\le M$，$|g(x)|\le M$，则对任意 $x,y\in(0,1)$，有
\[
|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)| \le M(|g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)|).
\]
公式：|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le M(|g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)|)
提示：这里用到了加一项减一项的技巧，是处理乘积差的标准方法。
步骤 4/5
目标：应用一致连续性条件
由 $f$ 和 $g$ 的一致连续性，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$ 和 $\delta_2>0$，使得当 $|x-y|<\delta_1$ 时 $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2M}$，当 $|x-y|<\delta_2$ 时 $|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$，则当 $|x-y|<\delta$ 时，有
\[
|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le M\left(\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2M}\right)=\varepsilon.
\]
公式：\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\},\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\varepsilon
提示：注意 $\delta$ 取两个 $\delta$ 中较小的那个，确保两个不等式同时成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x,y\in(0,1)$，只要 $|x-y|<\delta$，就有 $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\varepsilon$。由定义，$f(x)g(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。命题正确。
公式：\text{结论：} f(x)g(x) \text{ 在 }(0,1)\text{ 上一致连续}
提示：本题的关键在于先证明一致连续函数在有限开区间上有界，然后利用有界性进行放缩。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，若函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \((0,1)\) 内均一致连续，则它们的乘积 \(f(x)g(x)\) 在 \((0,1)\) 内也一致连续。命题正确。
公式：无
提示：注意：此结论依赖于区间是有限开区间；若区间无界，则一致连续函数不一定有界，乘积可能不一致连续。
步骤 7/7
目标：完成一致连续性的证明
于是，当 $|x-y| < \delta$ 时，
\[
|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon.
\]
因此，$f(x)g(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致连续。
提示：最终得到 $\varepsilon$，满足一致连续定义。
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