华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
8．设函数 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 二阶连续可导，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入中间变量，明确函数结构
令 $u = xy$, $v = \frac{x}{y}$, $w = \frac{y}{x}$，则 $z = f(u, v) + g(w)$。
公式：$u = xy$, $v = \frac{x}{y}$, $w = \frac{y}{x}$
提示：注意区分 $f$ 的两个自变量和 $g$ 的自变量，避免混淆。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对 $f$ 部分：$\frac{\partial f}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = y f_u + \frac{1}{y} f_v$。
对 $g$ 部分：$\frac{\partial g}{\partial x} = g'(w) \cdot \frac{\partial w}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} g'(w)$。
因此 $\frac{\partial z}{\partial x} = y f_u + \frac{1}{y} f_v - \frac{y}{x^2} g'(w)$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = y f_u + \frac{1}{y} f_v - \frac{y}{x^2} g'(w)$
提示：求导时注意 $f_u$ 和 $f_v$ 仍是 $u,v$ 的函数，后续求二阶导时需继续使用链式法则。
步骤 3/6
目标：对第一项 $y f_u$ 求关于 $y$ 的偏导
$\frac{\partial}{\partial y}(y f_u) = f_u + y \cdot \frac{\partial f_u}{\partial y}$。
而 $\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = x f_{uu} - \frac{x}{y^2} f_{uv}$。
所以结果为 $f_u + y(x f_{uu} - \frac{x}{y^2} f_{uv}) = f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}$。
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(y f_u) = f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}$
提示：注意 $f_{uv}$ 与 $f_{vu}$ 相等（二阶连续偏导），但此处先保留 $f_{uv}$。
步骤 4/6
目标：对第二项 $\frac{1}{y} f_v$ 求关于 $y$ 的偏导
$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}$。
而 $\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = x f_{vu} - \frac{x}{y^2} f_{vv}$。
利用 $f_{vu}=f_{uv}$，得 $-\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y}(x f_{uv} - \frac{x}{y^2} f_{vv}) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}$。
公式：$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}$
提示：注意 $f_{vu}=f_{uv}$ 的运用，以及 $\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$ 的符号。
步骤 5/6
目标：对第三项 $-\frac{y}{x^2} g'(w)$ 求关于 $y$ 的偏导
$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2} g'(w)\right) = -\frac{1}{x^2} g'(w) - \frac{y}{x^2} g''(w) \cdot \frac{\partial w}{\partial y}$。
由于 $\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{x}$，所以结果为 $-\frac{1}{x^2} g'(w) - \frac{y}{x^3} g''(w)$。
公式：$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2} g'(w)\right) = -\frac{1}{x^2} g'(w) - \frac{y}{x^3} g''(w)$
提示：注意 $g'(w)$ 是 $w$ 的函数，对 $y$ 求导时需用链式法则乘以 $\frac{\partial w}{\partial y}$。
步骤 6/6
目标：合并所有项，得到最终结果
将前三步的结果相加：
第一项：$f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}$
第二项：$-\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}$
第三项：$-\frac{1}{x^2} g'(w) - \frac{y}{x^3} g''(w)$
注意 $-\frac{x}{y} f_{uv} + \frac{x}{y} f_{uv}$ 抵消，合并后得：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u + xy f_{uu} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv} - \frac{1}{x^2} g'\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^3} g''\left(\frac{y}{x}\right)$。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u + xy f_{uu} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv} - \frac{1}{x^2} g'\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^3} g''\left(\frac{y}{x}\right)$
提示：注意交叉项 $f_{uv}$ 恰好抵消，这是常见简化点；最终结果中 $g$ 的变量 $w$ 应写回 $\frac{y}{x}$。
步骤 7/7
目标：合并各项得到最终结果
将三项相加：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left(f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}\right) + \left(-\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}\right) + \left(-\frac{1}{x^2} g'(w) - \frac{y}{x^3} g''(w)\right)
\]
合并同类项，$-\frac{x}{y} f_{uv} + \frac{x}{y} f_{uv} = 0$，得：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u + xy f_{uu} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv} - \frac{1}{x^2} g'\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^3} g''\left(\frac{y}{x}\right).
\]
其中 $f_u, f_v, f_{uu}, f_{vv}$ 在 $(u,v)=(xy, x/y)$ 处取值。
提示：注意最终结果中 $f_{uv}$ 项抵消，不要遗漏 $g$ 的项。
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