华东师范大学 2019年数学分析第0题

一致连续是指：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得对区间内任意两点$x_1, x_2$，只要$|x_1 - x_2| < \delta$，就有$|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。注意，这里的$\delta$只依赖于$\varepsilon$，而不依赖于点的位置。

已知区间$(a,b)$是有限开区间，函数$f(x)$在$(a,b)$上连续且有界。但经典结论是：在有限开区间上连续且有界的函数不一定一致连续。例如$f(x)=\sin(1/x)$在$(0,1)$上连续有界，但非一致连续。因此原命题是错误的。

考虑函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$，定义在$(0,1)$上。它是初等函数，在其定义域内连续，且满足$|\sin(1/x)| \le 1$，因此有界。

取$\varepsilon = 1$，对任意小的$\delta > 0$，选择充分大的正整数$n$，令$x_1 = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$，$x_2 = \frac{1}{2n\pi - \pi/2}$。当$n$足够大时，$|x_1 - x_2|$可以任意小（小于$\delta$），但$f(x_1)=1$，$f(x_2)=-1$，差为$2 > 1 = \varepsilon$。因此不满足一致连续定义。

原命题“如果函数$f(x)$在有限区间$(a,b)$上连续且有界，则$f(x)$在$(a,b)$上一致连续”是错误的。正确的结论是：在有限开区间上连续且有界的函数不一定一致连续；若要保证一致连续，通常需要区间是闭区间（或函数能连续延拓到闭区间上）。

计算 $|f(x_n) - f(y_n)| = \left| \sin(2n\pi) - \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) \right| = |0 - 1| = 1 > \frac{1}{2} = \varepsilon$。

因此，对 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，任意 $\delta > 0$，存在 $x_n, y_n$ 满足 $|x_n-y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)| = 1 > \varepsilon$，故 $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续。从而原命题错误。