📝 华东师范大学 2019年数学分析真题
第0题
1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．
第0题
2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
第0题
3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．
第0题
4．若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第0题
5．设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某空心邻域内有定义。如果对于任何严格单调收敛于 $x_{0}$ 的数列 $\left\{x_{n}\right\}$都有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在且相等，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在。
第0题
6．若函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上必一致收敛。
第0题
7．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
第0题
8．求积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 的值．
第0题
9．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)}$ 的和．
第0题
10．设 $u=x+y+z, S=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}, \overrightarrow{\mathbf{n}}$ 为球面 $S$ 的外侧法向量．求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 的表达式及 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 在 $S$ 上的最值．
第0题
11．设 $P(x, y, z)=Q(x, y, z)=R(x, y, z)=f\left(\left(x^{2}+y^{2}\right) z\right), f$ 有连续导数，求极限
$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{\Omega} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t^{4}}
$$
其中 $\Omega$ 为圆柱 $\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, z \in[0,1]\right\}$ 的外表面，方向取外侧。
$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{\Omega} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t^{4}}
$$
其中 $\Omega$ 为圆柱 $\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, z \in[0,1]\right\}$ 的外表面，方向取外侧。
第0题
12．若函数 $f(x)$ 在有限区间 $I$ 上有定义．证明：$f(x)$ 在 $I$ 上一致连续的充要条件是 $f$ 将 Cauchy列映为 Cauchy 列。
第0题
13．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \cdot \arctan \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 。证明：$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处连续，并讨论其偏导数的存在性及可微性。
第0题
14．讨论广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^{n} \mathrm{~d} x\left(\alpha>0, n \in \mathbb{Z}_{+}\right)$的敛散性。
第0题
15．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，$f(a)=0$ ，存在实数 $A>0$ ，使得 $\forall x \in[a, b],\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant A|f(x)|$ ．证明：$f(x) \equiv 0(x \in[a, b])$ ．
第0题
16．已知数列 $a_{n} \geqslant 0, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}, n=1,2, \ldots$
（1）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛时．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty), \forall a \in \mathbb{R}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛域，在 $(-\infty, a]$ 上非一致收敛。
（2）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域，一致收敛域及非一致收敛域。
（1）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛时．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty), \forall a \in \mathbb{R}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛域，在 $(-\infty, a]$ 上非一致收敛。
（2）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域，一致收敛域及非一致收敛域。
第0题
17．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在．试证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．