华东师范大学 2019年数学分析第0题

首先明确两个核心定义： 1. 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I, |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。 2. 数列 $\{x_n\}$ 为柯西列：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m,n > N, |x_m - x_n| < \varepsilon$。 3. “将 Cauchy 列映为 Cauchy 列”是指：若 $\{x_n\} \subset I$ 是柯西列，则 $\{f(x_n)\}$ 也是柯西列。

假设 $f$ 在 $I$ 上一致连续。任取 $I$ 中的一个柯西列 $\{x_n\}$，需证 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列。 给定任意 $\varepsilon > 0$，由一致连续性，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|u-v|<\delta$ 时 $|f(u)-f(v)|<\varepsilon$。 因为 $\{x_n\}$ 是柯西列，对这个 $\delta$，存在 $N$，使得当 $m,n > N$ 时，$|x_m - x_n| < \delta$。 于是由一致连续性，$|f(x_m)-f(x_n)| < \varepsilon$。因此 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列。

假设 $f$ 把 $I$ 中的任何柯西列映为柯西列，但 $f$ 在 $I$ 上不一致连续。 由不一致连续的定义，存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都能找到两点 $u,v \in I$，满足 $|u-v|<\delta$ 但 $|f(u)-f(v)| \ge \varepsilon_0$。 特别地，取 $\delta = 1/n$，则存在两点 $x_n, y_n \in I$，使得 $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$，且 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0$。

考虑数列 $\{z_n\}$：$x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, \dots$。 由于 $|x_n - y_n| \to 0$，且 $x_n, y_n$ 都在 $I$ 中，该数列是柯西列（任意两项在足够大的下标后可以非常接近）。 由假设，它的像 $\{f(z_n)\}$ 也应该是柯西列。 但像序列中，相邻的 $f(x_n)$ 和 $f(y_n)$ 的距离总是 $\ge \varepsilon_0$，这意味着对于 $\varepsilon = \varepsilon_0/2$，找不到足够大的 $N$ 使后面所有项彼此接近，与柯西列定义矛盾。 因此假设不成立，$f$ 必须一致连续。

我们已经证明了两个方向： 1. 若 $f$ 在 $I$ 上一致连续，则 $f$ 将 $I$ 中的任何 Cauchy 列映为 Cauchy 列。 2. 若 $f$ 将 $I$ 中的任何 Cauchy 列映为 Cauchy 列，则 $f$ 在 $I$ 上一致连续。 因此，原命题成立：函数 $f(x)$ 在有限区间 $I$ 上一致连续的充要条件是 $f$ 将 Cauchy 列映为 Cauchy 列。