华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上可导，因此 $f$ 在该区间上连续且每一点导数存在。同时，$f(a) = \lim_{x \to +\infty} f(x)$，记这个公共极限值为 $L$。
公式：$f(a) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
提示：注意 $f(+\infty)$ 表示极限存在，这是题目隐含的条件。
步骤 2/5
目标：考虑常数情况的平凡结论
如果 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上恒等于常数 $L$，则对任意 $\xi \in (a, +\infty)$，有 $f'(\xi) = 0$，结论显然成立。因此，我们只需考虑 $f(x)$ 不是常数的情形。
公式：若 $f(x) \equiv L$，则 $f'(\xi) = 0$ 恒成立
提示：不要忽略常数这种平凡情况，它是完整证明的一部分。
步骤 3/5
目标：假设非常数并构造极值点
假设 $f(x)$ 不是常数，则存在某点 $x_0 > a$ 使得 $f(x_0) \neq L$。不妨设 $f(x_0) > L$（若 $f(x_0) < L$ 可类似讨论最小值点）。由于 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$，存在 $b > x_0$ 使得 $f(b) < f(x_0)$。考虑闭区间 $[a, b]$，$f$ 在此区间上连续，由最大值原理，$f$ 在 $[a, b]$ 上取得最大值。因为 $f(a) = L < f(x_0)$ 且 $f(b) < f(x_0)$，最大值点 $\xi$ 必在开区间 $(a, b)$ 内部达到，且 $f(\xi) \geq f(x_0) > L$。
公式：$f(a) = L < f(x_0)$，$f(b) < f(x_0)$，$\xi \in (a, b)$ 为最大值点
提示：注意利用极限条件找到 $b$，使得 $f(b)$ 小于 $f(x_0)$，从而保证最大值在内部。
步骤 4/5
目标：应用费马引理得到导数为零
由于 $f$ 在 $\xi$ 处可导，且 $\xi$ 是区间 $(a, +\infty)$ 内部的极值点（最大值点），根据费马引理，在极值点处导数为零，即 $f'(\xi) = 0$。
公式：$f'(\xi) = 0$
提示：费马引理要求极值点在区间内部，这正是我们构造 $\xi \in (a, b) \subset (a, +\infty)$ 的原因。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合常数情形和非常数情形，我们证明了：若 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上可导且 $f(a) = \lim_{x \to +\infty} f(x)$，则存在 $\xi \in (a, +\infty)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。
公式：$\exists \xi \in (a, +\infty), f'(\xi) = 0$
提示：证明的关键是利用极限条件构造有限闭区间，然后应用闭区间上连续函数的极值定理和费马引理。
步骤 6/6
目标：综合结论
无论 $f(x)$ 是常数函数，还是存在点大于或小于极限值，我们都找到了 $\xi \in (a, +\infty)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。命题得证。
公式：$\exists \xi \in (a, +\infty), f'(\xi) = 0$
提示：这是罗尔定理在无穷区间上的推广，核心是利用极限存在构造闭区间上的最值点。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，存在 $\xi \in (a, +\infty)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。命题得证。
提示：注意 $\xi$ 属于开区间。
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