华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $u=x+y+z, S=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}, \overrightarrow{\mathbf{n}}$ 为球面 $S$ 的外侧法向量．求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 的表达式及 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 在 $S$ 上的最值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解方向导数的定义并写出表达式
方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 定义为 $\nabla u \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}_0$，其中 $\overrightarrow{\mathbf{n}}_0$ 是单位法向量。已知 $u = x + y + z$，梯度 $\nabla u = (1,1,1)$。球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的外侧法向量即为径向方向，单位法向量为 $\overrightarrow{\mathbf{n}}_0 = (x, y, z)$（因为 $x^2+y^2+z^2=1$）。因此 $\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}} = (1,1,1) \cdot (x,y,z) = x + y + z$。
公式：\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}} = \nabla u \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}_0 = x + y + z
提示：注意球面外侧法向量就是径向方向，且由于球面半径为1，该向量已是单位向量，无需再归一化。
步骤 2/5
目标：将问题转化为条件极值问题
由第一步知，$\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}$ 在球面 $S$ 上的值等于 $f(x,y,z)=x+y+z$ 在约束 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的值。因此求方向导数的最值即求 $f$ 在球面上的最值。
公式：\text{约束条件: } x^2+y^2+z^2=1, \quad \text{目标函数: } f(x,y,z)=x+y+z
提示：方向导数在球面上的表达式恰好是 $u$ 本身，因此最值问题等价于线性函数在单位球面上的最值。
步骤 3/5
目标：使用柯西不等式求最值
由柯西不等式：$(x+y+z)^2 \le (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2) = 3 \times 1 = 3$，所以 $-\sqrt{3} \le x+y+z \le \sqrt{3}$。等号成立当且仅当 $(x,y,z)$ 与 $(1,1,1)$ 成比例，即 $x=y=z$。代入球面方程得 $3x^2=1$，解得 $x=y=z=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。因此最大值为 $\sqrt{3}$，最小值为 $-\sqrt{3}$。
公式：(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 3 \Rightarrow -\sqrt{3} \le x+y+z \le \sqrt{3}
提示：柯西不等式等号成立条件容易忽略，需注意比例关系 $x:y:z = 1:1:1$。
步骤 4/5
目标：使用拉格朗日乘数法验证
构造拉格朗日函数 $L = x+y+z - \lambda(x^2+y^2+z^2-1)$。求偏导：$\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2\lambda}$，同理 $y=\frac{1}{2\lambda}, z=\frac{1}{2\lambda}$。代入约束：$3\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2=1 \Rightarrow \frac{3}{4\lambda^2}=1 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。当 $\lambda=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$，和为 $\sqrt{3}$；当 $\lambda=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，和为 $-\sqrt{3}$。结果与柯西不等式一致。
公式：\begin{cases} 1-2\lambda x=0 \\ 1-2\lambda y=0 \\ 1-2\lambda z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1 \end{cases}
提示：拉格朗日乘数法需注意解出 $\lambda$ 后要代入求 $x,y,z$，并检查是否为极值点。
步骤 5/5
目标：总结最终答案
方向导数表达式为 $\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}} = x+y+z$；在球面 $S$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$，最小值为 $-\sqrt{3}$。
公式：\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}} = x+y+z, \quad \max = \sqrt{3}, \quad \min = -\sqrt{3}
提示：最终答案需明确写出表达式和最值，注意最值点坐标可写可不写，但需保证正确。
步骤 6/7
目标：用柯西不等式求最值
由柯西不等式：$(x + y + z)^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2) = 3 \times 1 = 3$，所以 $-\sqrt{3} \le x + y + z \le \sqrt{3}$。等号成立当且仅当 $(x, y, z)$ 与 $(1, 1, 1)$ 成比例，即 $x = y = z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。
公式：$(x + y + z)^2 \le 3$
提示：注意等号成立条件：向量共线且同向取最大值，反向取最小值。
步骤 7/7
目标：给出最值结果
最大值在 $x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 时取得，为 $\sqrt{3}$；最小值在 $x = y = z = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时取得，为 $-\sqrt{3}$。
公式：$\max = \sqrt{3}$，$\min = -\sqrt{3}$
提示：最值点都在球面上，且唯一（不考虑排列顺序）。
步骤 8/8
目标：汇总最终答案
方向导数的表达式为：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}} = x + y + z \]
在球面 \( S \) 上的最大值为 \( \sqrt{3} \)，最小值为 \( -\sqrt{3} \)。
公式：\max = \sqrt{3}, \quad \min = -\sqrt{3}
提示：最终答案应包含表达式和两个最值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。