华东师范大学 2019年数学分析第0题

根据题意，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内有定义。条件指出：对于任何严格单调且收敛于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，极限 $\lim_{n \to +\infty} f(x_n)$ 都存在且相等。 首先，取一个具体的严格单调递增趋于 $x_0$ 的数列 $\{a_n\}$（例如 $a_n = x_0 - \frac{1}{n}$ 当 $x_0$ 为有限实数时，需保证 $a_n$ 在空心邻域内）。由条件，存在极限 $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = A$。 再取一个严格单调递减趋于 $x_0$ 的数列 $\{b_n\}$（例如 $b_n = x_0 + \frac{1}{n}$），由条件，其极限也存在且等于同一个数 $A$。因此，我们确定了一个公共极限值 $A$。

现在，任取一个数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n \to x_0$ 且 $x_n \neq x_0$（因为空心邻域内 $x_n$ 可以无限接近 $x_0$ 但不等于 $x_0$）。我们的目标是证明 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。 根据实数的基本性质：任何数列都存在单调子列。因此，从 $\{x_n\}$ 中可以抽取一个严格单调的子数列 $\{x_{n_k}\}$（可能是严格递增或严格递减）。由于 $x_n \to x_0$，该子列也收敛于 $x_0$。

由于子列 $\{x_{n_k}\}$ 是严格单调且收敛于 $x_0$ 的数列，它满足题目条件。因此，根据条件，极限 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k})$ 存在且等于公共值 $A$。即： \[ \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = A. \]

假设 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq A$，即 $f(x_n)$ 不收敛于 $A$。则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和一个子列 $\{x_{n_j}\}$（原数列的子列），使得对于所有 $j$，有 $|f(x_{n_j}) - A| \ge \varepsilon_0$。 对这个子列 $\{x_{n_j}\}$，再次应用实数的性质，从中可以抽取一个严格单调的子列 $\{x_{n_{j_l}}\}$。该子列仍然满足 $x_{n_{j_l}} \to x_0$ 且严格单调，因此由条件，$\lim_{l \to \infty} f(x_{n_{j_l}}) = A$。 但这与 $|f(x_{n_{j_l}}) - A| \ge \varepsilon_0$ 对所有 $l$ 成立矛盾（因为极限为 $A$ 意味着从某项起所有项与 $A$ 的差可以任意小）。 因此假设不成立，故 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。

我们已经证明：对于任意趋于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$（满足 $x_n \neq x_0$），都有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。 根据Heine定理（函数极限与数列极限的关系）：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在且等于 $A$ 当且仅当对任意趋于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$（$x_n \neq x_0$），都有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。 因此，$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在。原命题得证。

由于反证假设导致矛盾，因此原假设不成立，即 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在且等于 $L$。命题得证。