华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出导数定义
函数在 $x=0$ 处的导数定义为 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。已知 $f(0)=0$，所以 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{g(x)}{x}$，代入得 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{g(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}$。
公式：f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}
提示：分段点处的导数必须用定义，不能直接求导。
步骤 2/4
目标：利用泰勒展开求极限
由于 $g$ 在 $0$ 处二阶可导，可展开为 $g(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。代入已知条件 $g(0)=0, g'(0)=0, g''(0)=2$，得 $g(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + o(x^2) = x^2 + o(x^2)$。于是 $\frac{g(x)}{x^2} = 1 + \frac{o(x^2)}{x^2} \to 1$（当 $x \to 0$）。
公式：g(x) = x^2 + o(x^2), \quad \frac{g(x)}{x^2} \to 1
提示：注意余项 $o(x^2)$ 除以 $x^2$ 后极限为0。
步骤 3/4
目标：用洛必达法则验证
极限 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}$ 是 $\frac{0}{0}$ 型，可用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x}$。此时 $g'(0)=0$，仍是 $\frac{0}{0}$ 型，再用一次洛必达：$\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{g''(x)}{2}$。由于 $g''(0)=2$，得极限为 $\frac{2}{2}=1$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = \frac{g''(0)}{2} = 1
提示：使用洛必达法则前需确认满足条件，且二阶导数存在即可代入。
步骤 4/4
目标：得出结论
由以上计算可得 $f'(0) = 1$。
公式：f'(0) = 1
提示：最终结果是一个数值，注意检查计算过程。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由以上计算得$f'(0) = 1$。
公式：f'(0) = 1
提示：最终结果是一个数值，注意检查计算过程是否遗漏负号或系数。
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