华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
14．讨论广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^{n} \mathrm{~d} x\left(\alpha>0, n \in \mathbb{Z}_{+}\right)$的敛散性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区间，分解为两段处理
由于积分区间为 $[0, +\infty)$，被积函数在 $x \to 0^+$ 和 $x \to +\infty$ 处可能发散，因此将积分分解为 $\int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{+\infty}$，分别讨论敛散性。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^n \,dx = \int_0^1 + \int_1^{+\infty}
提示：注意 $x=0$ 和 $x=+\infty$ 是可能的奇点，必须分开讨论。
步骤 2/5
目标：讨论无穷远处的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$e^{-x}$ 指数衰减，衰减速度快于任何幂函数。对于任意 $\alpha>0$ 和正整数 $n$，存在充分小的 $\varepsilon>0$ 使得 $x^{\alpha-1}|\ln x|^n \leq x^{\alpha-1+\varepsilon}$ 成立。而 $\int_1^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1+\varepsilon} \,dx$ 因指数衰减收敛，故 $\int_1^{+\infty}$ 绝对收敛。
公式：e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^n \leq e^{-x} x^{\alpha-1+\varepsilon} \quad (x \to +\infty)
提示：对数增长慢于任何正幂，可用比较判别法。
步骤 3/5
目标：讨论0附近的收敛性：变量代换
当 $x \to 0^+$ 时，$e^{-x} \to 1$，被积函数行为由 $x^{\alpha-1}|\ln x|^n$ 决定。令 $t = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$dx = -e^{-t} dt$，积分限 $x=0 \to t=+\infty$，$x=1 \to t=0$。于是 $\int_0^1 x^{\alpha-1}|\ln x|^n \,dx = \int_{+\infty}^0 e^{-(\alpha-1)t} t^n \cdot (-e^{-t}) \,dt = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} t^n \,dt$。
公式：\int_0^1 x^{\alpha-1}|\ln x|^n \,dx = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} t^n \,dt
提示：注意绝对值 $|\ln x|$ 在 $x \in (0,1]$ 上等于 $-\ln x$，代换后变为 $t$。
步骤 4/5
目标：判断变换后积分的收敛性
积分 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} t^n \,dt$ 是标准的Gamma函数形式。当 $t \to 0^+$ 时，被积函数 $\sim t^n$，由于 $n \geq 0$，该处积分收敛；当 $t \to +\infty$ 时，指数衰减 $e^{-\alpha t}$ 保证收敛。因此对任意 $\alpha>0$ 和正整数 $n$，该积分收敛。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} t^n \,dt = \frac{\Gamma(n+1)}{\alpha^{n+1}} \quad (\alpha>0)
提示：注意 $\alpha>0$ 是指数衰减的关键，若 $\alpha \leq 0$ 则发散。
步骤 5/5
目标：综合结论
由于 $\int_1^{+\infty}$ 和 $\int_0^1$ 均收敛，原广义积分对任意 $\alpha>0$ 和 $n \in \mathbb{Z}_+$ 都收敛。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^n \,dx \quad \text{收敛} \quad \forall \alpha>0, \, n \in \mathbb{Z}_+
提示：无需对 $n$ 额外限制，因为Gamma积分对任意非负整数 $n$ 收敛。
步骤 6/6
目标：综合结论
由于 $I_2$ 和 $I_1$ 均收敛，原广义积分 $\int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^n \, dx$ 对任意 $\alpha>0$ 和正整数 $n$ 都收敛。
公式：$$ \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha-1}|\ln x|^n \, dx \quad \text{收敛} \quad (\forall \alpha>0,\; n\in\mathbb{Z}_+) $$
提示：敛散性完全由 $x\to 0^+$ 的行为决定，而该部分通过换元化为收敛的Gamma积分。
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