华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
4．若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由第二个积分收敛得到极限的存在性
已知 $\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx$ 收敛。根据反常积分的定义，极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f'(x) \, dx$ 存在且有限。由微积分基本定理，$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$。因此，$\lim_{b \to +\infty} (f(b) - f(a))$ 存在且有限。由于 $f(a)$ 是常数，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，记该极限为 $L$。
公式：\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)
提示：注意微积分基本定理要求 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导且导函数可积，题目条件隐含了 $f$ 的可导性。
步骤 2/3
目标：由第一个积分收敛推出极限必须为零
已知 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。假设 $L \neq 0$。若 $L > 0$，则存在 $X > a$，使得当 $x > X$ 时，$f(x) > \frac{L}{2} > 0$。于是 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \geq \int_X^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx = +\infty$，与积分收敛矛盾。若 $L < 0$，则存在 $X > a$，使得当 $x > X$ 时，$f(x) < \frac{L}{2} < 0$，同理 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_X^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx = -\infty$，也矛盾。因此 $L$ 必须为 $0$。
公式：\int_X^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx \text{ 发散当 } L \neq 0
提示：这里用到了反常积分比较判别法：若被积函数最终恒正（或恒负）且不趋于0，则积分必发散。
步骤 3/3
目标：得出结论
综合以上两步，由 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 和 $\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx$ 均收敛，可推出 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
提示：注意该结论成立的前提是 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上可导且导函数可积，题目条件已隐含。
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