华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
16．已知数列 $a_{n} \geqslant 0, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}, n=1,2, \ldots$
（1）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛时．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty), \forall a \in \mathbb{R}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛域，在 $(-\infty, a]$ 上非一致收敛。
（2）当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e^{-S_{n} x}$ 的收敛域，一致收敛域及非一致收敛域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析第(1)问中函数项级数的逐点收敛域
已知 $a_n \geq 0$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，记其和为 $S$，则部分和 $S_n \to S$。对于任意固定的实数 $x$，由于 $S_n$ 单调递增且有上界 $S$，因此 $e^{-S_n x}$ 有界。具体地，当 $x \geq 0$ 时，$e^{-S_n x} \leq e^{-S_1 x}$；当 $x < 0$ 时，$e^{-S_n x} \leq e^{-S x}$。于是存在常数 $C_x$ 使得 $a_n e^{-S_n x} \leq C_x a_n$。由比较判别法，$\sum a_n$ 收敛，故 $\sum a_n e^{-S_n x}$ 对每个实数 $x$ 绝对收敛。因此收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$0 \leq a_n e^{-S_n x} \leq C_x a_n$，其中 $C_x = \max\{e^{-S_1 x}, e^{-S x}\}$
提示：注意 $S_n$ 有上界 $S$，这是放缩的关键。不要忘记 $x<0$ 时指数函数单调递增，需要单独处理。
步骤 2/5
目标：证明第(1)问中在 $[a, +\infty)$ 上的一致收敛性
取任意 $a \in \mathbb{R}$。当 $x \geq a$ 时，$e^{-S_n x} \leq e^{-S_n a}$。由于 $S_n$ 单调递增有上界，$e^{-S_n a}$ 单调且有界，因此 $\sum a_n e^{-S_n a}$ 收敛（因为 $\sum a_n$ 收敛）。于是 $a_n e^{-S_n x} \leq a_n e^{-S_n a}$ 对所有 $x \geq a$ 成立。由 Weierstrass M-判别法，$\sum a_n e^{-S_n x}$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致收敛。
公式：$a_n e^{-S_n x} \leq a_n e^{-S_n a}$，$\sum a_n e^{-S_n a}$ 收敛
提示：优级数 $\sum a_n e^{-S_n a}$ 的收敛性依赖于 $\sum a_n$ 收敛，且 $e^{-S_n a}$ 有界。
步骤 3/5
目标：证明第(1)问中在 $(-\infty, a]$ 上的非一致收敛性
采用反证法，利用 Cauchy 一致收敛准则。假设在 $(-\infty, a]$ 上一致收敛，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，对所有 $x \leq a$ 有 $\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k e^{-S_k x}\right| < \varepsilon$。取 $x \to -\infty$，则 $e^{-S_k x} \to +\infty$，而 $a_k > 0$ 有无穷多项，导致部分和差可以任意大，矛盾。因此非一致收敛。
公式：Cauchy 准则：$\sup_{x \leq a} \left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k e^{-S_k x}\right| \not\to 0$
提示：关键在于 $x$ 充分负时指数项会放大通项，破坏一致有界性。
步骤 4/5
目标：分析第(2)问中 $\sum a_n$ 发散时的收敛域
此时 $S_n \to +\infty$。分情况讨论：
- 若 $x > 0$，利用积分放缩：$a_n e^{-S_n x} \leq \int_{S_{n-1}}^{S_n} e^{-x t} dt$，求和得 $\sum_{n=1}^{N} a_n e^{-S_n x} \leq \int_0^{S_N} e^{-x t} dt = \frac{1 - e^{-x S_N}}{x} \to \frac{1}{x}$，故级数收敛。
- 若 $x = 0$，级数为 $\sum a_n$，发散。
- 若 $x < 0$，则 $e^{-S_n x} = e^{|x| S_n} \to +\infty$，通项 $a_n e^{-S_n x}$ 不趋于 0，级数发散。
因此收敛域为 $(0, +\infty)$。
公式：$a_n e^{-S_n x} \leq \int_{S_{n-1}}^{S_n} e^{-x t} dt$（$x>0$）
提示：积分放缩是处理正项级数发散情形下指数衰减的常用技巧，注意 $a_n = S_n - S_{n-1}$。
步骤 5/5
目标：讨论第(2)问中的一致收敛域与非一致收敛域
对于任意 $\delta > 0$，在 $[\delta, +\infty)$ 上，由 $x \geq \delta$ 得 $a_n e^{-S_n x} \leq a_n e^{-S_n \delta} \leq \int_{S_{n-1}}^{S_n} e^{-\delta t} dt$，而 $\int_0^\infty e^{-\delta t} dt = 1/\delta$ 收敛，故由 Weierstrass M-判别法知一致收敛。
在 $(0, \delta]$ 上，由于 $x=0$ 时级数发散，且 $x \to 0^+$ 时余项不能一致小，因此非一致收敛。
公式：$\sum a_n e^{-S_n \delta} \leq \int_0^\infty e^{-\delta t} dt = \frac{1}{\delta}$
提示：一致收敛区间必须远离 0，因为 0 是发散点。非一致收敛性可通过 $x \to 0^+$ 时余项下界不为 0 来证明。
步骤 6/7
目标：讨论发散情况下的收敛域
分三种情况：
- 若 $x > 0$：利用 $a_k = S_k - S_{k-1}$，有 $a_k e^{-S_k x} \leq \int_{S_{k-1}}^{S_k} e^{-t x} dt$，求和得 $\sum_{k=1}^n a_k e^{-S_k x} \leq \int_0^{S_n} e^{-t x} dt \leq \frac{1}{x}$，故级数收敛。
- 若 $x = 0$：级数为 $\sum a_n$，发散。
- 若 $x < 0$：令 $x = -p, p>0$，则通项 $a_n e^{p S_n} \to \infty$（因为 $S_n \to \infty$），通项不趋于 0，级数发散。
因此收敛域为 $(0, +\infty)$。
公式：$\sum_{k=1}^n a_k e^{-S_k x} \leq \int_0^{\infty} e^{-t x} dt = \frac{1}{x}, \quad x>0$
提示：利用积分比较时，注意 $e^{-t x}$ 的单调性，以及 $a_k$ 与 $S_k$ 的差分关系。
步骤 7/7
目标：讨论发散情况下的一致收敛域
对任意 $\delta > 0$，在 $[\delta, +\infty)$ 上，有 $a_n e^{-S_n x} \leq a_n e^{-S_n \delta}$，而 $\sum a_n e^{-S_n \delta}$ 收敛（由 $x=\delta>0$ 时收敛），由 M-判别法知一致收敛。但在 $(0, +\infty)$ 上，当 $x \to 0^+$ 时，级数和趋于无穷（因为 $x=0$ 发散），故不能一致收敛。在 $(-\infty, 0]$ 上级数发散，无一致收敛性可言。
公式：$a_n e^{-S_n x} \leq a_n e^{-S_n \delta}, \quad \forall x \geq \delta$
提示：一致收敛域通常是不包含端点的闭区间，注意 $x=0$ 是发散点，因此任何包含 0 的区间都不是一致收敛的。
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