华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
11．设 $P(x, y, z)=Q(x, y, z)=R(x, y, z)=f\left(\left(x^{2}+y^{2}\right) z\right), f$ 有连续导数，求极限
$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{\Omega} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t^{4}}
$$
其中 $\Omega$ 为圆柱 $\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, z \in[0,1]\right\}$ 的外表面，方向取外侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将曲面积分转化为三重积分
曲面 $\Omega$ 是圆柱 $x^2+y^2 \le t^2,\, 0\le z\le 1$ 的外表面（封闭曲面），方向取外侧。由高斯散度定理：
$$
\iint_{\partial V} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
$$
其中 $V$ 为圆柱体。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意曲面是封闭的且取外侧，才能直接使用高斯公式。
步骤 2/7
目标：计算散度并利用对称性化简
记 $u = (x^2+y^2)z$，则 $P=Q=R=f(u)$。计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = f'(u)\cdot 2xz,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = f'(u)\cdot 2yz,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = f'(u)\cdot (x^2+y^2)
$$
散度和为：
$$
f'(u)\big(2xz+2yz+(x^2+y^2)\big)
$$
由于积分区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，$2xz$ 和 $2yz$ 为奇函数，积分后为零，故只剩下：
$$
\iiint_V f'\big((x^2+y^2)z\big)\cdot (x^2+y^2)\,dV
$$
公式：$\nabla\cdot\mathbf{F} = f'(u)(2xz+2yz+x^2+y^2)$
提示：对称性化简时，注意奇函数在对称区域积分为零。
步骤 3/7
目标：用柱坐标计算三重积分
令 $x=r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$，体积元 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$，积分区域：$0\le r\le t,\, 0\le\theta\le 2\pi,\, 0\le z\le 1$。积分化为：
$$
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{t}\int_{z=0}^{1} f'(r^2 z)\cdot r^2 \cdot r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{r=0}^t r^3 \left(\int_{z=0}^1 f'(r^2 z)\,dz\right) dr
$$
公式：$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：柱坐标中不要漏掉雅可比行列式 $r$。
步骤 4/7
目标：计算内层对 $z$ 的积分
令 $w = r^2 z$，则 $dz = dw/r^2$，当 $z=0$ 时 $w=0$，$z=1$ 时 $w=r^2$，于是：
$$
\int_{z=0}^1 f'(r^2 z)\,dz = \int_{w=0}^{r^2} f'(w)\cdot \frac{1}{r^2}\,dw = \frac{1}{r^2}\big(f(r^2)-f(0)\big)
$$
公式：$\int_0^1 f'(r^2 z)\,dz = \frac{f(r^2)-f(0)}{r^2}$
提示：注意换元时积分限的变化。
步骤 5/7
目标：化简三重积分并换元
将内层积分结果代入：
$$
2\pi \int_0^t r^3 \cdot \frac{1}{r^2}\big(f(r^2)-f(0)\big)\,dr = 2\pi \int_0^t r\big(f(r^2)-f(0)\big)\,dr
$$
令 $u=r^2$，则 $du=2r\,dr$，$r\,dr = du/2$，$r=0$ 时 $u=0$，$r=t$ 时 $u=t^2$，得：
$$
= 2\pi \int_0^{t^2} \big(f(u)-f(0)\big)\cdot \frac{du}{2} = \pi \int_0^{t^2} \big(f(u)-f(0)\big)\,du
$$
公式：$\iiint_V \cdots = \pi \int_0^{t^2} (f(u)-f(0))\,du$
提示：换元时注意积分限的对应关系。
步骤 6/7
目标：求极限
原极限为：
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{\pi \int_0^{t^2} (f(u)-f(0))\,du}{t^4}
$$
分子分母均趋于0，使用洛必达法则（对 $t$ 求导）：
分子导数为 $\pi \cdot (f(t^2)-f(0))\cdot 2t$，分母导数为 $4t^3$，故：
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{2\pi t\,(f(t^2)-f(0))}{4t^3} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\pi}{2}\cdot \frac{f(t^2)-f(0)}{t^2}
$$
公式：洛必达法则：$\lim \frac{\int_0^{t^2} (f(u)-f(0))\,du}{t^4}$
提示：注意对 $t$ 求导时，上限 $t^2$ 的导数为 $2t$。
步骤 7/7
目标：利用导数定义得到最终结果
由导数定义：
$$
\lim_{t\to 0} \frac{f(t^2)-f(0)}{t^2} = f'(0)
$$
因此极限值为：
$$
\frac{\pi}{2} f'(0)
$$
公式：$\lim_{t\to 0} \frac{f(t^2)-f(0)}{t^2} = f'(0)$
提示：这里 $f$ 有连续导数，故导数定义成立。
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