华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
15．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，$f(a)=0$ ，存在实数 $A>0$ ，使得 $\forall x \in[a, b],\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant A|f(x)|$ ．证明：$f(x) \equiv 0(x \in[a, b])$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾条件并设定目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可微，且满足 $f(a)=0$，存在常数 $A>0$，使得对任意 $x \in [a,b]$ 有 $|f'(x)| \le A|f(x)|$。需要证明 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上成立。
公式：|f'(x)| \le A|f(x)|
提示：注意可微性保证了函数连续，且导数存在。
步骤 2/5
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式建立积分不等式
对任意 $x \in [a,b]$，由牛顿-莱布尼茨公式：$f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt = \int_a^x f'(t) \, dt$。取绝对值并利用条件中的导数不等式：$|f(x)| \le \int_a^x |f'(t)| \, dt \le A \int_a^x |f(t)| \, dt$。
公式：|f(x)| \le A \int_a^x |f(t)| \, dt
提示：这里用到了 $|\int_a^x g(t) dt| \le \int_a^x |g(t)| dt$ 的积分不等式性质。
步骤 3/5
目标：定义辅助函数并转化为微分不等式
令 $u(x) = |f(x)|$，则 $u(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负连续，且满足 $u(x) \le A \int_a^x u(t) \, dt$。再令 $U(x) = \int_a^x u(t) \, dt$，则 $U'(x) = u(x)$，且 $U(a)=0$。代入不等式得 $U'(x) \le A U(x)$。
公式：U'(x) \le A U(x), \quad U(a)=0
提示：注意 $U(x)$ 是可微的，因为 $u(x)$ 连续。
步骤 4/5
目标：解微分不等式证明 $U(x) \equiv 0$
将不等式 $U'(x) - A U(x) \le 0$ 两边乘以积分因子 $e^{-Ax}$，得到 $\frac{d}{dx}\left( U(x) e^{-Ax} \right) \le 0$。因此函数 $U(x) e^{-Ax}$ 在 $[a,b]$ 上单调不增。由于 $U(a)=0$，有 $U(x) e^{-Ax} \le 0$，即 $U(x) \le 0$。但 $U(x) = \int_a^x u(t) dt \ge 0$，故 $U(x) \equiv 0$。
公式：\frac{d}{dx}\left( U(x) e^{-Ax} \right) \le 0 \Rightarrow U(x) \equiv 0
提示：这里利用了非负函数积分非负的性质，以及单调性推出上界为零。
步骤 5/5
目标：由 $U(x) \equiv 0$ 推出 $f(x) \equiv 0$
由 $U(x) \equiv 0$ 得 $u(x) = U'(x) \equiv 0$，即 $|f(x)| \equiv 0$，所以 $f(x) \equiv 0$ 对任意 $x \in [a,b]$ 成立。
公式：f(x) \equiv 0, \quad x \in [a,b]
提示：注意绝对值恒为零等价于函数本身恒为零。
步骤 6/6
目标：由 $G(x)$ 恒为零推出 $f(x)$ 恒为零
由 $G(x)=0$ 得 $F(x)e^{-2A(x-a)}=0$，而 $e^{-2A(x-a)}>0$，故 $F(x)=0$，即 $f^2(x)=0$，所以 $f(x)=0$ 对任意 $x \in [a,b]$ 成立。
公式：$F(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$
提示：注意 $f(x)$ 是实值函数，平方为零则本身为零。
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