华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
6．若函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上必一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析命题并回忆一致收敛的定义
函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛到 $f(x)$，是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，对所有 $x\in I$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。同样定义 $\{g_n(x)\}$ 一致收敛到 $g(x)$。我们考虑乘积 $\{f_n(x)g_n(x)\}$ 是否一致收敛到 $f(x)g(x)$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n\ge N,\forall x\in I:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛要求 $N$ 与 $x$ 无关，只依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：尝试估计乘积的差
考虑 $|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|$，通过加减项 $f_n(x)g(x)$ 得到：
$|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)| = |f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)+f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|$
$\le |f_n(x)||g_n(x)-g(x)| + |g(x)||f_n(x)-f(x)|$。
公式：$|f_n g_n - f g| \le |f_n|\cdot|g_n-g| + |g|\cdot|f_n-f|$
提示：这里需要 $f_n$ 和 $g$ 有界才能控制，但一致收敛本身不保证有界性。
步骤 3/6
目标：发现潜在问题：无界性导致反例
如果 $f_n$ 或 $g$ 在 $I$ 上无界，即使 $|g_n-g|$ 和 $|f_n-f|$ 可以任意小，乘积项 $|f_n|$ 或 $|g|$ 可能很大，导致整体无法控制。因此命题不一定成立。
公式：无界时 $|f_n|$ 或 $|g|$ 可能趋于无穷，破坏一致收敛性
提示：注意：一致收敛的函数列不一定有界，例如在无界区间上。
步骤 4/6
目标：构造反例：取 $I=\mathbb{R}$
令 $f_n(x)=x$（常数列），则 $f_n(x)\to f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛（因为 $|f_n(x)-f(x)|=0<\varepsilon$ 对所有 $n$ 成立）。令 $g_n(x)=1/n$，则 $g_n(x)\to g(x)=0$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛（因为 $|g_n(x)-0|=1/n<\varepsilon$ 当 $n>1/\varepsilon$）。
公式：$f_n(x)=x,\quad g_n(x)=\frac{1}{n}$
提示：两个函数列都一致收敛，但 $f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上无界。
步骤 5/6
目标：验证乘积函数列不一致收敛
乘积 $f_n(x)g_n(x)=x/n$，极限函数为 $f(x)g(x)=0$。对 $\varepsilon=1$，无论 $n$ 多大，取 $x=n$，则 $|x/n-0|=1$，不小于 $\varepsilon$。因此不存在 $N$ 使得对所有 $n\ge N$ 和所有 $x\in\mathbb{R}$ 都有 $|x/n|<1$，故不一致收敛。
公式：$f_n(x)g_n(x)=\frac{x}{n},\quad \sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x}{n}\right|=\infty$
提示：反例的关键是极限函数 $f(x)=x$ 无界，导致乘积无法一致收敛。
步骤 6/6
目标：得出结论
原命题“若 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $\{f_n g_n\}$ 在 $I$ 上必一致收敛”是错误的。反例：$I=\mathbb{R}$，$f_n(x)=x$，$g_n(x)=1/n$。
公式：命题不成立
提示：只有在附加条件（如 $f_n$ 和 $g$ 有界）下，乘积才一致收敛。
步骤 7/7
目标：得出结论
反例表明：存在两个一致收敛的函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$，其乘积不一致收敛。因此原命题不成立。
提示：该反例中极限函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 在区间上无界，导致乘积不一致收敛。
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