华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
9．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数形式，利用反正切差角公式
观察到函数形式为 $\arctan\frac{1-2x}{1+2x}$，可应用公式 $\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$。取 $u=1$，$v=2x$，则 $\frac{1-2x}{1+2x} = \frac{1-2x}{1+1\cdot 2x}$，因此 $f(x) = \arctan 1 - \arctan(2x)$。由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，得到 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \arctan(2x)$。
公式：\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}
提示：注意公式成立的条件是 $uv > -1$，此处 $1 \cdot 2x > -1$ 在收敛域内自动满足，但需注意验证。
步骤 2/5
目标：展开 $\arctan(2x)$ 为幂级数
已知反正切函数的麦克劳林展开式为 $\arctan t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} t^{2n+1}$，收敛区间为 $|t| < 1$。令 $t = 2x$，代入得 $\arctan(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} (2x)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{2n+1} x^{2n+1}$，收敛条件为 $|2x| < 1$，即 $|x| < \frac{1}{2}$。
公式：\arctan t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} t^{2n+1}, \quad |t| < 1
提示：注意 $(2x)^{2n+1} = 2^{2n+1} x^{2n+1}$，指数运算不要出错。
步骤 3/5
目标：写出 $f(x)$ 的幂级数展开式
由第一步 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \arctan(2x)$，将第二步的展开式代入得：$f(x) = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{2n+1} x^{2n+1}$。展开前几项为 $f(x) = \frac{\pi}{4} - 2x + \frac{8}{3}x^3 - \frac{32}{5}x^5 + \cdots$，收敛区间为 $|x| < \frac{1}{2}$。
公式：f(x) = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{2n+1} x^{2n+1}
提示：注意 $\frac{\pi}{4}$ 是常数项，级数中只有奇次幂项，偶次幂项系数为零。
步骤 4/5
目标：利用展开式求常数项级数的和
题目要求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 的和。观察 $\arctan t$ 的展开式，当 $t=1$ 时，有 $\arctan 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot 1^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$。而 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，因此该级数的和为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：\arctan 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}
提示：注意 $t=1$ 在收敛区间端点，但 $\arctan t$ 的级数在 $t=1$ 处条件收敛，可直接代入。
步骤 5/5
目标：总结最终答案
函数 $f(x)$ 的幂级数展开为 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{2n+1} x^{2n+1}$，收敛区间为 $|x| < \frac{1}{2}$。级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 的和为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：\boxed{\frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{2n+1} x^{2n+1}}, \quad \boxed{\frac{\pi}{4}}
提示：最终答案需明确写出两个结果：幂级数展开式和级数和。
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