华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
8．求积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确目标并利用偶函数性质
设 $I = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$。由于 $e^{-x^2}$ 是偶函数，有 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = 2I$。因此，若能求出整个实数轴上的积分 $J = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$，则 $I = J/2$。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$
提示：注意被积函数为偶函数，对称区间积分可化为两倍半区间积分。
步骤 2/6
目标：将平方转化为二重积分
考虑 $J^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy$。这相当于在整个 $xy$ 平面上对 $e^{-(x^2+y^2)}$ 进行二重积分。
公式：$J^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx \, dy$
提示：将一维积分平方转化为二维积分是处理高斯积分的关键技巧。
步骤 3/6
目标：使用极坐标变换计算二重积分
令 $x = r \cos\theta$，$y = r \sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$，面积元 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$，积分区域为 $r \in [0, +\infty)$，$\theta \in [0, 2\pi)$。于是 $J^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\theta$。
公式：$J^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr$
提示：极坐标变换中不要遗漏 $r$ 因子，且积分限需正确对应。
步骤 4/6
目标：计算径向积分
计算 $\int_0^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr$。令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，即 $r \, dr = \frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=0$，$r \to +\infty$ 时 $u \to +\infty$。于是 $\int_0^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr = \int_0^{+\infty} e^{-u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2}$。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2}$
提示：换元时注意 $r \, dr$ 与 $du$ 的关系，积分限也要相应变换。
步骤 5/6
目标：计算角度积分并得到 J
将径向积分结果代入：$J^2 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$。由于被积函数 $e^{-x^2} > 0$，故 $J = \sqrt{\pi}$。
公式：$J^2 = \pi \quad \Rightarrow \quad J = \sqrt{\pi}$
提示：开方时取正值，因为积分值为正。
步骤 6/6
目标：回到原积分得出最终结果
由 $J = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$ 及偶函数性质，得 $I = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：最终结果常用，可直接记忆。
步骤 7/7
目标：得到原积分结果
由偶函数性质，$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x = \frac{1}{2} I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
提示：最终结果常用，需牢记。
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