华东师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且不恒为 $0$，即存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0) \neq 0$。$D(x)$ 为 Dirichlet 函数：当 $x$ 为有理数时 $D(x)=1$，当 $x$ 为无理数时 $D(x)=0$。要证明乘积函数 $g(x)=f(x)D(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 不可积。
公式：D(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases}
提示：注意 Dirichlet 函数处处不连续，且在任何小区间上振幅为 1。
步骤 2/5
目标：分析乘积函数的连续性
考虑 $g(x)=f(x)D(x)$。若 $x_0$ 为无理数，则 $g(x_0)=0$；但在 $x_0$ 的任意邻域内存在有理数 $x'$，此时 $g(x')=f(x')$。若 $f(x_0)\neq 0$，由连续性，$f(x')\to f(x_0)\neq 0$，而 $g(x_0)=0$，故 $x_0$ 为间断点。若 $x_0$ 为有理数，则 $g(x_0)=f(x_0)$；邻域内存在无理数 $x''$，$g(x'')=0$，若 $f(x_0)\neq 0$，则 $x_0$ 也为间断点。因此，$g(x)$ 的连续点只能是 $f(x)=0$ 的点。
公式：\lim_{x'\to x_0}g(x') \neq g(x_0) \quad \text{当 } f(x_0)\neq 0
提示：注意区分有理点和无理点处函数值的差异，以及 $f$ 的连续性对极限的影响。
步骤 3/5
目标：利用连续函数的保号性确定间断点集
由于 $f(x)$ 连续且不恒为 $0$，存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)\neq 0$。由保号性，存在 $\delta>0$，使得在区间 $I=[x_0-\delta, x_0+\delta]\cap[a,b]$ 上，$f(x)\neq 0$（不妨设 $f(x)>0$）。在此区间 $I$ 内，任意点 $x$ 的任意邻域都同时含有理数和无理数，因此 $g(x)$ 在 $I$ 上每一点都是间断点（因为 $g$ 在有理点取非零值，在无理点取 $0$，振荡不趋于同一极限）。故 $I$ 整个为间断点集，其长度 $>0$。
公式：\exists \delta>0,\ \forall x\in (x_0-\delta, x_0+\delta),\ f(x)\neq 0
提示：保号性保证了存在一个小区间上 $f$ 不变号且非零，这是关键。
步骤 4/5
目标：应用 Lebesgue 可积性定理
Riemann 可积的充要条件是函数在区间上有界且不连续点集的 Lebesgue 测度为 $0$。这里 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界（因为 $f$ 连续有界，$D$ 有界），但间断点集包含一个长度大于 $0$ 的区间 $I$，其测度 $m(I)>0$。因此不连续点集测度不为 $0$，故 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不可积。
公式：\text{Riemann 可积} \iff m(\{x: g\text{ 在 }x\text{ 处不连续}\})=0
提示：Lebesgue 定理是判断 Riemann 可积性的有力工具，注意测度为零的条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，$f(x)D(x)$ 在 $[a,b]$ 上不满足 Riemann 可积的必要条件，因此不可积。
提示：本题的关键在于利用连续函数的保号性构造一个正长度的间断区间，而非仅依赖个别点。
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