华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件
题目给出的条件是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a_{2n}| < \varepsilon$。这类似于柯西收敛准则，但只检查了相隔一倍的项，而不是任意两项。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, \forall n > N: |a_n - a_{2n}| < \varepsilon$
提示：注意条件只涉及 $a_n$ 和 $a_{2n}$ 的差，不涉及其他项。
步骤 2/5
目标：判断必要性是否成立
假设数列 $\{a_n\}$ 收敛于极限 $L$。则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{2}$。由于 $2n > n > N$，也有 $|a_{2n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$。于是由三角不等式：$|a_n - a_{2n}| \leq |a_n - L| + |L - a_{2n}| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。因此必要性成立。
公式：$|a_n - a_{2n}| \leq |a_n - L| + |L - a_{2n}|$
提示：必要性证明中常用三角不等式，注意取 $\varepsilon/2$ 的技巧。
步骤 3/5
目标：尝试构造反例检验充分性
充分性指：若条件成立，则数列收敛。考虑构造一个满足条件但不收敛的数列。尝试取 $a_n = \ln n$，但 $|a_n - a_{2n}| = \ln 2$ 为常数，不满足条件。尝试取 $a_n = \sin(\pi \log_2 n)$，则 $a_{2n} = -a_n$，$|a_n - a_{2n}| = 2|a_n|$ 不一定小。
公式：$|a_n - a_{2n}| = \ln 2$ 或 $2|a_n|$
提示：构造反例时需确保条件成立，即差可以任意小，但数列本身发散。
步骤 4/5
目标：构造成功的反例
定义数列 $a_n = \begin{cases} 1, & n = 2^k \ (k \in \mathbb{N}), \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。对于任意 $n$：若 $n$ 是 $2$ 的幂，则 $2n$ 也是 $2$ 的幂，故 $a_n = a_{2n} = 1$，差为 $0$；若 $n$ 不是 $2$ 的幂，则 $2n$ 也不是 $2$ 的幂（否则 $n$ 会是 $2$ 的幂），故 $a_n = a_{2n} = 0$，差也为 $0$。因此对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N=1$，当 $n > N$ 时恒有 $|a_n - a_{2n}| = 0 < \varepsilon$，条件成立。但该数列有无穷多个 $1$ 和无穷多个 $0$，不收敛。
公式：$|a_n - a_{2n}| = 0$ 恒成立
提示：注意 $2n$ 为 $2$ 的幂当且仅当 $n$ 为 $2$ 的幂，这是构造的关键。
步骤 5/5
目标：得出结论
必要性成立，但充分性不成立，因此题目中的说法是错误的。该条件仅是数列收敛的必要条件，而非充要条件。
公式：无
提示：充要条件必须同时满足必要性和充分性，反例说明充分性不成立。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在满足条件但不收敛的数列，充分性不成立。因此该条件只是数列收敛的必要条件，不是充分条件，命题错误。
提示：充要条件必须同时满足必要性和充分性，缺一不可。
步骤 7/7
目标：结论
存在满足条件但不收敛的数列，因此充分性不成立。原命题错误。
提示：充要条件必须同时满足必要性和充分性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。