📝 华东师范大学 2021年数学分析真题

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

3．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积．

4．若无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

5．若函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有定义，在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 也存在．

6．求极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n(n+1)(n+2) \cdots(2 n-1)}}{n}
$$

7．假设二元函数 $u=f(x, y)$ 满足 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ．令 $\displaystyle v=f\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ，且 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ ．计算证明

$$
v_{x x}+v_{y y}=0
$$

8．求 $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $L$ 表示 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 沿 $x$ 增长的方向．

9．将 $f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $(0,1)$ 上展成余弦级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．

10．设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上非负连续，求

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D} f^{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{1 / n}
$$

11．若数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收玫，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．

12．证明：

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin (t x)}{t} \mathrm{~d} t=\arctan x
$$

13．设函数 $f(u)$ 在闭区间 $I$ 上连续，$\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $\forall n>N, x \in[a, b]$ 有 $g_{n}(x) \in I$ ，证明：$\left\{f\left(g_{n}(x)\right)\right\}$ 一致收敛。

14．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且存在常数 $\tau \in(0,1)$ 满足 $\forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，使得 $|f(x)| \leqslant \tau|f(y)|$ ，证明：存在 $\xi \in[a, b]$ 使得 $f(\xi)=0$ ．

15．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续可微，且

$$
f(x+1)-f(x)=f^{\prime}(x), \quad \forall x \in[a,+\infty), \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A
$$

证明：$f^{\prime}(x) \equiv A, \forall x \in[a,+\infty)$