华东师范大学 2021年数学分析第0题

原函数：若存在可导函数 $F(x)$，使得对 $[a,b]$ 内所有 $x$ 有 $F'(x)=f(x)$，则称 $F$ 是 $f$ 的一个原函数。黎曼可积：函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且其上下积分相等（即黎曼和的极限存在且唯一）。

微积分基本定理指出：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，且 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，则 $F$ 连续且在 $f$ 连续点处 $F'(x)=f(x)$。但本题条件是逆命题：已知存在原函数，问是否一定黎曼可积。这需要检验是否可能原函数存在但 $f$ 无界或不满足可积条件。

考虑函数 $g(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x^2}, & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases}$，则 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，其导数为 $f(x)=g'(x)=\begin{cases} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}, & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases}$。$f$ 在 $x=0$ 附近无界（因为含 $\frac{1}{x}$ 项），因此在包含 $0$ 的闭区间上不是黎曼可积的（黎曼可积的必要条件是有界）。但 $f$ 有原函数 $g$。

在闭区间 $[a,b]$ 包含 $0$ 时，例如 $[-1,1]$，$f$ 在 $0$ 的任意邻域内无界，因此 $f$ 在 $[-1,1]$ 上无界，从而不是黎曼可积的。但 $g$ 在 $[-1,1]$ 上可导且 $g'=f$，故 $f$ 存在原函数。因此原命题错误。

原命题“若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积”是错误的。存在原函数不能保证黎曼可积，因为原函数存在只要求 $f$ 是某个可导函数的导数，而这样的导数可以无界，从而不满足黎曼可积的必要条件（有界性）。