华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
12．证明：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin (t x)}{t} \mathrm{~d} t=\arctan x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义含参变量积分并考虑在积分号下求导
令 \( F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, dt \)。由于被积函数对 \( x \) 的偏导为 \( e^{-t} \cos(tx) \)，且该函数在 \( t \ge 0 \) 上一致可积（指数衰减因子保证），因此可以在积分号下求导：
\[ F'(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} \cos(tx) \, dt \]
公式：\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \right) = e^{-t} \cos(tx)
提示：注意验证一致可积性：对于任意 \( x \)，有 \( |e^{-t} \cos(tx)| \leq e^{-t} \)，且 \( \int_0^\infty e^{-t} dt \) 收敛，故可交换求导与积分次序。
步骤 2/5
目标：计算导数对应的积分
计算 \( F'(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} \cos(tx) \, dt \)。这是一个标准的拉普拉斯变换，利用公式 \( \int_0^\infty e^{-at} \cos(bt) \, dt = \frac{a}{a^2+b^2} \)（其中 \( a>0 \)），代入 \( a=1, b=x \) 得：
\[ F'(x) = \frac{1}{1+x^2} \]
公式：\int_0^\infty e^{-at} \cos(bt) \, dt = \frac{a}{a^2+b^2}
提示：该公式可通过分部积分或复指数方法推导，注意 \( a>0 \) 保证积分收敛。
步骤 3/5
目标：对导数积分得到原函数表达式
由 \( F'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，两边关于 \( x \) 积分得：
\[ F(x) = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C \]
公式：\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C
提示：积分常数 \( C \) 需通过初始条件确定。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定积分常数
令 \( x=0 \)，代入原积分：
\[ F(0) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin(0)}{t} \, dt = 0 \]
而 \( \arctan 0 = 0 \)，所以 \( C = 0 \)。因此 \( F(x) = \arctan x \)。
公式：F(0) = 0, \quad \arctan 0 = 0
提示：注意 \( \sin(0)=0 \)，且被积函数在 \( t=0 \) 处极限为 \( x \)（可去奇点），积分收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，对于所有实数 \( x \)，有：
\[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, dt = \arctan x \]
公式：\boxed{\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin (t x)}{t} \mathrm{~d} t=\arctan x}
提示：该结果也可通过傅里叶变换或复变函数方法验证。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对于一切实数 \( x \)，有：
\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, dt = \arctan x \]
公式：\boxed{\arctan x}
提示：该结果对所有实数 \( x \) 成立，体现了含参积分与反正切函数的深刻联系。
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