华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
6．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n(n+1)(n+2) \cdots(2 n-1)}}{n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将乘积用阶乘表示
观察分子中的乘积是从 $n$ 乘到 $2n-1$，一共 $n$ 项。我们可以把它写成：
$$
n(n+1)(n+2)\cdots(2n-1) = \frac{(2n-1)!}{(n-1)!}
$$
因为 $(2n-1)! = 1\cdot2\cdots (n-1)\cdot n\cdots(2n-1)$，除以 $(n-1)!$ 就恰好剩下从 $n$ 到 $2n-1$ 的乘积。于是原极限变为：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt[n]{\frac{(2n-1)!}{(n-1)!}} }{n}
$$
公式：n(n+1)(n+2)\cdots(2n-1) = \frac{(2n-1)!}{(n-1)!}
提示：注意乘积的项数，确保阶乘表示正确，避免遗漏项。
步骤 2/7
目标：取对数处理
令
$$
a_n = \frac{ \left( \frac{(2n-1)!}{(n-1)!} \right)^{1/n} }{n}
$$
取自然对数：
$$
\ln a_n = \frac{1}{n} \left[ \ln((2n-1)!) - \ln((n-1)!) \right] - \ln n
$$
公式：\ln a_n = \frac{1}{n} [\ln((2n-1)!) - \ln((n-1)!)] - \ln n
提示：取对数是处理根号和乘积极限的常用技巧，注意对数运算的准确性。
步骤 3/7
目标：用斯特林公式近似
斯特林公式：
$$
\ln(m!) = m\ln m - m + \frac12\ln(2\pi m) + o(1)
$$
先对 $(2n-1)!$ 使用，令 $m = 2n-1$：
$$
\ln((2n-1)!) = (2n-1)\ln(2n-1) - (2n-1) + \frac12\ln(2\pi(2n-1)) + o(1)
$$
对 $(n-1)!$，令 $m = n-1$：
$$
\ln((n-1)!) = (n-1)\ln(n-1) - (n-1) + \frac12\ln(2\pi(n-1)) + o(1)
$$
公式：\ln(m!) = m\ln m - m + \frac12\ln(2\pi m) + o(1)
提示：斯特林公式适用于大数阶乘的近似，注意保留到主要项和常数项，小量用 $o(1)$ 表示。
步骤 4/7
目标：代入并化简
相减得到：
$$
\ln((2n-1)!) - \ln((n-1)!) = (2n-1)\ln(2n-1) - (n-1)\ln(n-1) - n + \frac12 \ln\frac{2n-1}{n-1} + o(1)
$$
然后除以 $n$：
$$
\frac{1}{n}[\cdots] = \frac{2n-1}{n}\ln(2n-1) - \frac{n-1}{n}\ln(n-1) - 1 + \frac{1}{2n}\ln\frac{2n-1}{n-1} + o(1)
$$
再减去 $\ln n$，得到：
$$
\ln a_n = \frac{2n-1}{n}\ln(2n-1) - \frac{n-1}{n}\ln(n-1) - \ln n - 1 + \frac{1}{2n}\ln\frac{2n-1}{n-1} + o(1)
$$
公式：\ln a_n = \frac{2n-1}{n}\ln(2n-1) - \frac{n-1}{n}\ln(n-1) - \ln n - 1 + \frac{1}{2n}\ln\frac{2n-1}{n-1} + o(1)
提示：代入斯特林公式后，注意合并同类项，尤其是常数项 $-n$ 和 $-1$ 的处理。
步骤 5/7
目标：将各项写成关于 n 的渐近形式
先处理系数：
$$
\frac{2n-1}{n} = 2 - \frac{1}{n}, \quad \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}
$$
于是：
$$
\frac{2n-1}{n}\ln(2n-1) = \left(2 - \frac1n\right)\left[\ln n + \ln\left(2 - \frac1n\right)\right]
$$
而 $\ln(2 - 1/n) = \ln 2 + \ln(1 - 1/(2n)) = \ln 2 - \frac{1}{2n} + o(1/n)$。所以：
$$
\left(2 - \frac1n\right)\left(\ln n + \ln 2 - \frac{1}{2n} + o(1/n)\right) = 2\ln n + 2\ln 2 - \frac{\ln n}{n} - \frac{\ln 2}{n} - \frac{1}{n} + o(1/n)
$$
接着第二项：
$$
\frac{n-1}{n}\ln(n-1) = \left(1 - \frac1n\right)\left[\ln n + \ln\left(1 - \frac1n\right)\right]
$$
而 $\ln(1 - 1/n) = -\frac1n - \frac{1}{2n^2} + \cdots$，取到 $1/n$ 项：
$$
= \left(1 - \frac1n\right)\left(\ln n - \frac1n + o(1/n)\right) = \ln n - \frac1n - \frac{\ln n}{n} + o(1/n)
$$
公式：\ln(2 - 1/n) = \ln 2 - \frac{1}{2n} + o(1/n), \quad \ln(1 - 1/n) = -\frac1n + o(1/n)
提示：展开对数时，要利用 $\ln(1+x) \sim x$ 进行渐近展开，注意保留到 $1/n$ 项，因为后续会抵消。
步骤 6/7
目标：合并各项并化简
第一项减第二项：
$$
(2\ln n + 2\ln 2 - \frac{\ln n}{n} - \frac{\ln 2}{n} - \frac{1}{n}) - (\ln n - \frac1n - \frac{\ln n}{n}) + o(1/n)
$$
化简：
- $\ln n$ 部分：$2\ln n - \ln n = \ln n$
- 常数部分：$2\ln 2$
- $1/n$ 系数：来自第一项有 $-\frac{\ln n}{n} - \frac{\ln 2}{n} - \frac{1}{n}$，减去第二项相当于加上 $+\frac1n + \frac{\ln n}{n}$，所以合并后 $-\frac{\ln n}{n} + \frac{\ln n}{n} = 0$，$-\frac{\ln 2}{n}$ 保留，$-\frac{1}{n} + \frac{1}{n} = 0$。
因此前两大项相减结果是：
$$
\ln n + 2\ln 2 - \frac{\ln 2}{n} + o(1/n)
$$
再减去 $\ln n$ 并加上小项：先 $- \ln n$ 与上面的 $\ln n$ 抵消。然后处理小项：
$$
\frac{1}{2n}\ln\frac{2n-1}{n-1} = \frac{1}{2n}\left[\ln 2 + \ln\frac{1 - 1/(2n)}{1 - 1/n}\right] \sim \frac{\ln 2}{2n}
$$
于是加上前面的 $-\frac{\ln 2}{n}$，得到：
$$
-\frac{\ln 2}{n} + \frac{\ln 2}{2n} = -\frac{\ln 2}{2n} + o(1/n)
$$
所以：
$$
\ln a_n = 2\ln 2 - \frac{\ln 2}{2n} + o(1/n)
$$
公式：\ln a_n = 2\ln 2 - \frac{\ln 2}{2n} + o(1/n)
提示：合并时注意符号，尤其是减去第二项时，要逐项相减，避免遗漏负号。
步骤 7/7
目标：取极限得到结果
当 $n\to\infty$，$\ln a_n \to 2\ln 2 = \ln 4$，因此
$$
a_n \to 4
$$
所以原极限为 $4$。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = e^{\ln 4} = 4
提示：取极限时，$o(1/n)$ 项趋于0，不影响极限值。
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