华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
11．若数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收玫，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件并推导数列性质
已知级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 收敛，且数列 $\{a_n\}$ 单调。由级数收敛的必要条件知 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。由于数列单调且趋于0，则 $\{a_n\}$ 必为单调递减趋于0（若单调递增趋于0，则所有项必须为0，此时结论平凡成立）。因此可设 $a_n \ge 0$ 且 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，$a_n \ge 0$ 且单调递减
提示：注意单调性包括单调递增和单调递减两种情况，但收敛到0的单调递增数列只能是零数列，因此主要考虑非负递减情形。
步骤 2/5
目标：应用柯西收敛准则
由于级数收敛，部分和数列是柯西列。对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $m > n > N$ 时，有 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon$。因为 $a_n \ge 0$，绝对值可去掉。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n>N: \sum_{k=n+1}^{m} a_k < \varepsilon$
提示：柯西收敛准则是处理级数收敛问题的常用工具，注意这里利用了非负性简化绝对值。
步骤 3/5
目标：构造偶数指标的不等式
取 $m = 2n$，且 $n > N$，则 $\sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$。由于 $\{a_n\}$ 单调递减，有 $a_{2n} \le a_k$ 对 $k = n+1, \ldots, 2n$ 成立，因此 $n \cdot a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$。两边乘以2得 $2n \cdot a_{2n} < 2\varepsilon$，这表明 $\lim_{n\to\infty} (2n) a_{2n} = 0$。
公式：$n \cdot a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$
提示：利用单调性将求和放缩为 $n$ 倍的最小项，这是关键技巧。
步骤 4/5
目标：构造奇数指标的不等式
取 $m = 2n+1$，且 $n > N$，则 $\sum_{k=n+1}^{2n+1} a_k < \varepsilon$。由单调递减得 $a_{2n+1} \le a_k$ 对 $k = n+1, \ldots, 2n+1$ 成立，故 $(n+1) \cdot a_{2n+1} \le \sum_{k=n+1}^{2n+1} a_k < \varepsilon$。于是 $(2n+1) a_{2n+1} < 2\varepsilon$，即 $\lim_{n\to\infty} (2n+1) a_{2n+1} = 0$。
公式：$(n+1) \cdot a_{2n+1} \le \sum_{k=n+1}^{2n+1} a_k < \varepsilon$
提示：奇数指标的处理与偶数类似，注意求和项数为 $n+1$ 项。
步骤 5/5
目标：合并奇偶情况得出结论
由 $\lim_{n\to\infty} (2n) a_{2n} = 0$ 和 $\lim_{n\to\infty} (2n+1) a_{2n+1} = 0$ 可知，对任意自然数 $n$，无论 $n$ 是奇数还是偶数，都有 $\lim_{n\to\infty} n a_n = 0$。因此原命题得证。
公式：$\lim_{n\to\infty} n a_n = 0$
提示：奇偶子列极限均为0可推出整个数列极限为0，这是数列极限的基本性质。
步骤 6/6
目标：综合得到结论
由 $\lim_{n\to\infty} 2n a_{2n} = 0$ 和 $\lim_{n\to\infty} (2n+1)a_{2n+1} = 0$，可知 $\lim_{n\to\infty} n a_n = 0$。
提示：这里利用了子列极限相等推出原数列极限存在且相等，但需注意 $n a_n$ 的极限存在性已由子列保证。
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