华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定自变量取值范围
由于函数 $f(x)$ 定义在闭区间 $[0,2]$ 上，方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 中 $x$ 和 $x+1$ 都必须属于 $[0,2]$，因此 $x$ 的取值范围是 $[0,1]$。
公式：x \in [0,1]
提示：注意定义域的限制，避免自变量超出范围。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
令 $g(x) = f(x) - f(x+1)$，其中 $x \in [0,1]$。由于 $f$ 在 $[0,2]$ 上连续，则 $f(x)$ 和 $f(x+1)$ 都在 $[0,1]$ 上连续，因此 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
公式：g(x) = f(x) - f(x+1), \quad x \in [0,1]
提示：辅助函数的连续性由连续函数的四则运算保证。
步骤 3/5
目标：计算端点值并利用已知条件
计算 $g(0)$ 和 $g(1)$：
$g(0) = f(0) - f(1)$
$g(1) = f(1) - f(2)$
由已知条件 $f(0) = f(2)$，得 $g(1) = f(1) - f(0) = -[f(0) - f(1)] = -g(0)$。
公式：g(1) = -g(0)
提示：注意符号变化，这是应用零点定理的关键。
步骤 4/5
目标：分情况讨论并应用零点定理
情况1：若 $g(0)=0$，则 $x=0$ 即为方程的解。
情况2：若 $g(0) \neq 0$，则 $g(0)$ 与 $g(1)$ 异号。由于 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$。
公式：\exists \xi \in [0,1], \text{使得 } g(\xi)=0
提示：零点定理要求函数在闭区间上连续且端点函数值异号。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合两种情况，总存在某个 $x \in [0,1]$ 使得 $g(x)=0$，即 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解。
公式：f(x) = f(x+1) \text{ 在 } [0,1] \text{ 上有解}
提示：结论中解的存在区间是 $[0,1]$，而非 $[0,2]$。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 在 $[0,1]$ 上至少有一个解。
提示：结论要明确解的存在区间。
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