华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
13．设函数 $f(u)$ 在闭区间 $I$ 上连续，$\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $\forall n>N, x \in[a, b]$ 有 $g_{n}(x) \in I$ ，证明：$\left\{f\left(g_{n}(x)\right)\right\}$ 一致收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由一致收敛得到极限函数并确定其值域
设 $g_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $g(x)$。由一致收敛的定义，对任意 $\epsilon>0$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 有 $|g_n(x)-g(x)|<\epsilon$。又由题目条件，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 有 $g_n(x)\in I$。取 $n>\max(N,N_1)$，则对任意 $x$，$g(x)$ 是 $I$ 中序列的极限，由于 $I$ 是闭区间，故 $g(x)\in I$。
公式：\forall \epsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,\forall x\in[a,b]:|g_n(x)-g(x)|<\epsilon
提示：注意闭区间性质保证了极限函数也在区间内，这是后续使用一致连续性的前提。
步骤 2/4
目标：利用f在闭区间上的一致连续性
由于 $f(u)$ 在闭区间 $I$ 上连续，闭区间上的连续函数必一致连续。因此，对任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $u,v\in I$ 且 $|u-v|<\delta$ 时，有 $|f(u)-f(v)|<\epsilon$。
公式：\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,\forall u,v\in I,|u-v|<\delta \Rightarrow |f(u)-f(v)|<\epsilon
提示：一致连续性是关键，它使得我们可以将自变量差控制转化为函数值差控制，且与具体点无关。
步骤 3/4
目标：结合两个收敛性证明复合函数一致收敛
给定任意 $\epsilon>0$，由一致连续性，存在 $\delta>0$。由 $g_n$ 一致收敛到 $g$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 有 $|g_n(x)-g(x)|<\delta$。取 $N_0=\max(N,N_1,N_2)$，则当 $n>N_0$ 时，对所有 $x\in[a,b]$，有 $g_n(x),g(x)\in I$ 且 $|g_n(x)-g(x)|<\delta$，从而 $|f(g_n(x))-f(g(x))|<\epsilon$。由于 $\epsilon$ 与 $x$ 无关，故 $\{f(g_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(g(x))$。
公式：|f(g_n(x))-f(g(x))|<\epsilon,\quad \forall n>N_0,\forall x\in[a,b]
提示：注意取 $N_0$ 时要同时满足三个条件：$g_n$ 值域在 $I$ 内、$g_n$ 与 $g$ 的差小于 $\delta$、以及极限函数也在 $I$ 内。
步骤 4/4
目标：总结结论
因此，函数列 $\{f(g_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(g(x))$。
公式：\boxed{\text{函数列 } \{f(g_n(x))\} \text{ 在 } [a,b] \text{ 上一致收敛到 } f(g(x))}
提示：证明完成，注意一致收敛的判定依赖于一致连续性和原序列的一致收敛性。
步骤 5/5
目标：推导复合函数序列的一致收敛性
由上述步骤，当 $n>N$ 且 $x\in[a,b]$ 时，由于 $g_n(x),g(x)\in I$ 且 $|g_n(x)-g(x)|<\delta$，根据 $f$ 的一致连续性，有：
$$|f(g_n(x))-f(g(x))|<\varepsilon.$$
这个不等式对所有 $n>N$ 和所有 $x\in[a,b]$ 同时成立，这正是 $\{f(g_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(g(x))$ 的定义。
公式：$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\ \forall x\in[a,b]:\ |f(g_n(x))-f(g(x))|<\varepsilon.$$
提示：证明的关键在于将 $f$ 的一致连续性与 $g_n$ 的一致收敛性结合，注意 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 的对应关系。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。