华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
8．求 $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $L$ 表示 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 沿 $x$ 增长的方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲线方程与方向
曲线方程为 $x^2 + y^2 = 2x$，配方得 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，表示圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆。题目要求“沿 $x$ 增长的方向”，即沿曲线运动时 $x$ 坐标单调递增。对于此圆，$x$ 从最小值 $0$ 到最大值 $2$，因此路径应为从最左点 $(0,0)$ 到最右点 $(2,0)$ 的圆弧（上半圆或下半圆）。
公式：$(x-1)^2 + y^2 = 1$
提示：注意整个圆上 $x$ 不会一直增加，因此 $L$ 是半圆弧而非整个圆。
步骤 2/6
目标：分析被积表达式与保守性
被积式为 $\frac{\mathrm{d}y - \mathrm{d}x}{x - y + 1}$，对应向量场 $\mathbf{F} = \left( -\frac{1}{x-y+1},\ \frac{1}{x-y+1} \right)$。计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{(x-y+1)^2}$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{1}{(x-y+1)^2}$，两者相等，故场在分母不为零的区域（即直线 $x-y+1=0$ 以外）是保守的。
公式：$P = -\frac{1}{x-y+1},\ Q = \frac{1}{x-y+1}$
提示：保守场的关键条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，此处恰好成立。
步骤 3/6
目标：寻找势函数
设势函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{x-y+1}$，$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x-y+1}$。对 $x$ 积分得 $f = -\ln|x-y+1| + g(y)$，再对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x-y+1} + g'(y)$，与 $\frac{1}{x-y+1}$ 比较得 $g'(y)=0$，故 $g$ 为常数。取 $f(x,y) = -\ln|x-y+1|$。
公式：$f(x,y) = -\ln|x-y+1|$
提示：势函数可差一个常数，不影响积分结果。
步骤 4/6
目标：验证路径与奇异线无交点
奇异线为 $x-y+1=0$，即 $y=x+1$。代入圆方程 $x^2+(x+1)^2=2x$ 得 $2x^2+1=0$，无实数解，故整个圆不与奇异线相交，场在圆所在区域保守，积分与路径无关。
公式：$2x^2+1=0$ 无实根
提示：保守场中，只要路径不穿过奇异点，积分只取决于端点。
步骤 5/6
目标：选择简单路径计算积分
由于积分与路径无关，可取从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$ 的直线段 $y=0$（$0 \le x \le 2$）。此时 $\mathrm{d}y=0$，积分化为 $\int_0^2 \frac{-\mathrm{d}x}{x+1} = -\left[\ln(x+1)\right]_0^2 = -(\ln 3 - \ln 1) = -\ln 3$。
公式：$\int_0^2 \frac{-\mathrm{d}x}{x+1} = -\ln 3$
提示：直线段 $y=0$ 不穿过奇异线 $x=-1$，计算安全。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，沿上半圆或下半圆从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$ 的积分均为 $-\ln 3$。
公式：$\boxed{-\ln 3}$
提示：结果与路径选择无关，验证了保守性。
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