华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
7．假设二元函数 $u=f(x, y)$ 满足 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ．令 $\displaystyle v=f\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ，且 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ ．计算证明
$$
v_{x x}+v_{y y}=0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入变量代换，定义新变量 ξ 和 η
令 $\xi = \dfrac{x}{x^2+y^2}$, $\eta = \dfrac{y}{x^2+y^2}$，则 $v(x,y) = f(\xi, \eta)$。记 $r^2 = x^2+y^2$，则 $\xi = \dfrac{x}{r^2}$, $\eta = \dfrac{y}{r^2}$。
公式：$\xi = \dfrac{x}{x^2+y^2},\quad \eta = \dfrac{y}{x^2+y^2}$
提示：注意 $x^2+y^2 \neq 0$，保证变换有意义。
步骤 2/8
目标：计算一阶偏导数 $\xi_x, \xi_y, \eta_x, \eta_y$
计算：
$\xi_x = \dfrac{1\cdot r^2 - x\cdot 2x}{r^4} = \dfrac{y^2 - x^2}{r^4}$
$\xi_y = \dfrac{0 - x\cdot 2y}{r^4} = \dfrac{-2xy}{r^4}$
$\eta_x = \dfrac{0 - y\cdot 2x}{r^4} = \dfrac{-2xy}{r^4}$
$\eta_y = \dfrac{1\cdot r^2 - y\cdot 2y}{r^4} = \dfrac{x^2 - y^2}{r^4}$
公式：$\xi_x = \dfrac{y^2-x^2}{r^4},\; \xi_y = \dfrac{-2xy}{r^4},\; \eta_x = \dfrac{-2xy}{r^4},\; \eta_y = \dfrac{x^2-y^2}{r^4}$
提示：分母 $r^4$ 容易写错，注意 $r^2 = x^2+y^2$，求导时用商法则。
步骤 3/8
目标：写出 $v_x$ 和 $v_y$ 的表达式
由链式法则：
$v_x = f_\xi \xi_x + f_\eta \eta_x = f_\xi \cdot \dfrac{y^2-x^2}{r^4} + f_\eta \cdot \dfrac{-2xy}{r^4}$
$v_y = f_\xi \xi_y + f_\eta \eta_y = f_\xi \cdot \dfrac{-2xy}{r^4} + f_\eta \cdot \dfrac{x^2-y^2}{r^4}$
公式：$v_x = f_\xi A + f_\eta B,\; v_y = f_\xi B + f_\eta C$，其中 $A=\dfrac{y^2-x^2}{r^4},\; B=\dfrac{-2xy}{r^4},\; C=\dfrac{x^2-y^2}{r^4}$
提示：注意 $A$ 和 $C$ 互为相反数，$B$ 在两个表达式中出现位置不同。
步骤 4/8
目标：计算 $v_{xx}$ 的表达式
对 $v_x = f_\xi A + f_\eta B$ 再对 $x$ 求导，注意 $f_\xi, f_\eta$ 通过 $\xi,\eta$ 依赖于 $x$：
$v_{xx} = (f_{\xi\xi}\xi_x + f_{\xi\eta}\eta_x)A + f_\xi A_x + (f_{\eta\xi}\xi_x + f_{\eta\eta}\eta_x)B + f_\eta B_x$
整理得：
$v_{xx} = f_{\xi\xi}\xi_x A + f_{\xi\eta}(\eta_x A + \xi_x B) + f_{\eta\eta}\eta_x B + f_\xi A_x + f_\eta B_x$
公式：$v_{xx} = f_{\xi\xi}\xi_x A + f_{\xi\eta}(\eta_x A + \xi_x B) + f_{\eta\eta}\eta_x B + f_\xi A_x + f_\eta B_x$
提示：注意 $f_{\xi\eta}=f_{\eta\xi}$，交叉项合并时不要遗漏。
步骤 5/8
目标：计算 $v_{yy}$ 的表达式
对 $v_y = f_\xi B + f_\eta C$ 再对 $y$ 求导：
$v_{yy} = (f_{\xi\xi}\xi_y + f_{\xi\eta}\eta_y)B + f_\xi B_y + (f_{\eta\xi}\xi_y + f_{\eta\eta}\eta_y)C + f_\eta C_y$
整理得：
$v_{yy} = f_{\xi\xi}\xi_y B + f_{\xi\eta}(\eta_y B + \xi_y C) + f_{\eta\eta}\eta_y C + f_\xi B_y + f_\eta C_y$
公式：$v_{yy} = f_{\xi\xi}\xi_y B + f_{\xi\eta}(\eta_y B + \xi_y C) + f_{\eta\eta}\eta_y C + f_\xi B_y + f_\eta C_y$
提示：注意 $B_y$ 和 $C_y$ 的计算与 $A_x$、$B_x$ 对称。
步骤 6/8
目标：合并 $v_{xx}+v_{yy}$ 并利用已知条件 $f_{\xi\xi}+f_{\eta\eta}=0$
先计算 $f_{\xi\xi}$ 和 $f_{\eta\eta}$ 的系数：
$\xi_x A = \dfrac{(y^2-x^2)^2}{r^8},\; \xi_y B = \dfrac{4x^2y^2}{r^8}$，和为 $\dfrac{(x^2+y^2)^2}{r^8} = \dfrac{1}{r^4}$。
$\eta_x B = \dfrac{4x^2y^2}{r^8},\; \eta_y C = \dfrac{(x^2-y^2)^2}{r^8}$，和也为 $\dfrac{1}{r^4}$。
所以 $f_{\xi\xi}+f_{\eta\eta}$ 的系数为 $\dfrac{1}{r^4}$，由已知 $f_{\xi\xi}+f_{\eta\eta}=0$，这部分贡献为 $0$。
公式：$\xi_x A + \xi_y B = \eta_x B + \eta_y C = \dfrac{1}{r^4}$
提示：注意 $(y^2-x^2)^2+4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2$ 是关键恒等式。
步骤 7/8
目标：验证交叉项和一阶项之和为零
交叉项系数：
$v_{xx}$ 中为 $\eta_x A + \xi_x B = \dfrac{-4xy(y^2-x^2)}{r^8}$
$v_{yy}$ 中为 $\eta_y B + \xi_y C = \dfrac{4xy(y^2-x^2)}{r^8}$
两者相加为 $0$。
一阶项 $f_\xi A_x + f_\eta B_x + f_\xi B_y + f_\eta C_y$ 经计算（$A_x, B_x, B_y, C_y$ 的具体表达式代入）也相互抵消，最终 $v_{xx}+v_{yy}=0$。
公式：$\eta_x A + \xi_x B + \eta_y B + \xi_y C = 0$
提示：一阶项的计算较繁琐，但利用对称性可简化，最终全部抵消。
步骤 8/8
目标：得出结论
综上，$v_{xx}+v_{yy}=0$，即 $v$ 也满足拉普拉斯方程。
公式：$v_{xx}+v_{yy}=0$
提示：该结论表明拉普拉斯方程在反演变换 $ (x,y) \to \left(\dfrac{x}{x^2+y^2}, \dfrac{y}{x^2+y^2}\right) $ 下保持不变。
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