华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
4．若无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件与结论
题目给出两个条件：无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，且 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续。结论是 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。我们需要判断这个结论是否必然成立。
公式：$\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} f(x) \, dx$ 存在且有限。
提示：注意：积分收敛只保证面积有限，不直接推出被积函数趋于0。
步骤 2/6
目标：分析积分收敛与函数极限的关系
从定义出发，积分收敛意味着当 $b \to +\infty$ 时，$\int_{1}^{b} f(x) \, dx$ 趋于有限值。但 $f(x)$ 可以在某些点取很大的值，只要这些大值对应的区间宽度足够小，使得面积贡献有限。因此，$f(x)$ 不一定趋于0。
公式：$\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} f(x) \, dx = L$（有限）
提示：一个常见误解是认为积分收敛必然推出被积函数趋于0，但反例表明这是错误的。
步骤 3/6
目标：构造反例思路
为了构造反例，我们让 $f(x)$ 在大部分区间为0，但在每个正整数 $n$ 附近有一个窄而高的尖峰，使得每个峰的面积以几何级数衰减（如 $1/2^n$），从而总面积收敛。同时，通过连续函数（如三角形或山形函数）保证 $f(x)$ 连续，但 $f(n)=1$ 不趋于0。
公式：每个峰的面积 $\approx \frac{1}{2} \times \text{底宽} \times \text{高}$，令底宽 $= \frac{1}{2^{n}}$，高 $=1$，则面积 $= \frac{1}{2^{n+1}}$，级数 $\sum \frac{1}{2^{n+1}}$ 收敛。
提示：注意：峰的高度不能增长太快，否则面积级数可能发散；这里高度恒为1，宽度指数衰减，保证收敛。
步骤 4/6
目标：具体构造连续函数
对每个正整数 $n$，在区间 $[n - \frac{1}{2^{n+1}}, n + \frac{1}{2^{n+1}}]$ 上定义 $f(x)$ 为以 $x=n$ 为顶点的等腰三角形，高度为1，底边长度为 $\frac{1}{2^{n}}$。在区间外定义 $f(x)=0$。这样 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续（每个三角形连续，且相邻区间不重叠），且 $f(n)=1$，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在（因为子列 $f(n)=1$ 不趋于0）。
公式：$f(x) = \begin{cases} 1 - 2^{n} |x-n|, & |x-n| \leq \frac{1}{2^{n+1}} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
提示：确保三角形之间不重叠：相邻整数 $n$ 和 $n+1$ 的支撑区间分别为 $[n-1/2^{n+1}, n+1/2^{n+1}]$ 和 $[n+1-1/2^{n+2}, n+1+1/2^{n+2}]$，由于 $1/2^{n+1}+1/2^{n+2} < 1$，故不重叠。
步骤 5/6
目标：验证积分收敛性
每个三角形的面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{n}} \times 1 = \frac{1}{2^{n+1}}$。所有三角形面积之和为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$，加上区间 $[1,2]$ 上可能的部分（第一个三角形从 $n=1$ 开始），总面积有限。因此无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。
公式：$\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$
提示：注意：积分收敛是因为级数收敛，与函数在无穷远处是否趋于0无关。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在连续函数 $f(x)$ 满足积分收敛但 $\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq 0$（实际上极限不存在），所以原命题错误。
公式：反例说明：积分收敛 + 连续 $\nRightarrow$ $\lim f(x)=0$
提示：这个反例也说明，即使函数连续，积分收敛也不能保证函数在无穷远处趋于0，需要更强的条件（如一致连续性或单调性）。
步骤 7/7
目标：得出结论
通过上述反例可知，存在连续函数 $f(x)$ 使得 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，但 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在（更谈不上等于0）。因此原命题错误。
提示：该反例说明：积分收敛不能保证函数在无穷远处趋于0，除非附加条件（如函数一致连续或单调）。
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