华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上非负连续，求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D} f^{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{1 / n}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解极限形式与目标
我们要求极限 \(\lim_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n(x,y) \, dx \, dy \right)^{1/n}\)，其中 \(D\) 是单位圆盘 \(x^2+y^2 \le 1\)，\(f\) 在 \(D\) 上非负连续。这种形式类似于 \(L^p\) 范数当 \(p\to\infty\) 时趋于 \(L^\infty\) 范数，因此极限很可能等于 \(f\) 在 \(D\) 上的最大值。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} = \max_{(x,y)\in D} f(x,y)
提示：注意：这里 \(f\) 非负连续，且区域 \(D\) 是紧集，最大值存在。
步骤 2/5
目标：设最大值并给出上界估计
令 \(M = \max_{(x,y)\in D} f(x,y)\)。由于 \(f(x,y) \le M\) 对所有 \((x,y)\in D\) 成立，我们有 \(f^n(x,y) \le M^n\)，因此积分满足：
\[
\iint_D f^n(x,y) \, dx \, dy \le \iint_D M^n \, dx \, dy = M^n \cdot \text{Area}(D) = M^n \cdot \pi.
\]
两边开 \(n\) 次方得：
\[
\left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \le M \cdot \pi^{1/n}.
\]
公式：\left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \le M \cdot \pi^{1/n}
提示：上界估计中使用了 \(f \le M\) 和区域面积 \(\pi\)，注意 \(\pi^{1/n} \to 1\) 当 \(n\to\infty\)。
步骤 3/5
目标：给出下界估计（利用最大值点邻域）
设最大值在点 \((x_0,y_0) \in D\) 处取得，即 \(f(x_0,y_0)=M\)。由连续性，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得当 \((x,y)\) 满足 \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 < \delta^2\) 时，有 \(f(x,y) > M-\varepsilon\)。记该邻域为 \(B_\delta\)，其面积 \(\text{Area}(B_\delta)=\pi\delta^2\)（若邻域完全在 \(D\) 内，否则取交集，但面积仍为正数）。于是：
\[
\iint_D f^n \, dA \ge \iint_{B_\delta} (M-\varepsilon)^n \, dA = (M-\varepsilon)^n \cdot \text{Area}(B_\delta).
\]
开 \(n\) 次方得：
\[
\left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \ge (M-\varepsilon) \cdot \left( \text{Area}(B_\delta) \right)^{1/n}.
\]
公式：\left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \ge (M-\varepsilon) \cdot \left( \text{Area}(B_\delta) \right)^{1/n}
提示：注意邻域面积 \(\text{Area}(B_\delta)\) 是正常数，其 \(n\) 次方根趋于 1。
步骤 4/5
目标：取极限并夹逼得到结果
对下界估计取 \(n\to\infty\)，由于 \(\left( \text{Area}(B_\delta) \right)^{1/n} \to 1\)，得到：
\[
\liminf_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \ge M-\varepsilon.
\]
因为 \(\varepsilon>0\) 任意小，所以 \(\liminf \ge M\)。
对上界估计取 \(n\to\infty\)，由于 \(\pi^{1/n} \to 1\)，得到：
\[
\limsup_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} \le M.
\]
结合上下极限，有 \(M \le \liminf \le \limsup \le M\)，因此极限存在且等于 \(M\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n \, dA \right)^{1/n} = M = \max_{(x,y)\in D} f(x,y)
提示：夹逼定理要求上下极限相等，这里通过 \(\varepsilon\) 的任意性完成证明。
步骤 5/5
目标：总结并写出最终答案
因此，所求极限等于函数 \(f\) 在闭单位圆盘 \(D\) 上的最大值。
公式：\boxed{\max_{(x,y)\in D} f(x,y)}
提示：结果与区域形状无关，只要区域是紧集且 \(f\) 连续非负，结论均成立。
步骤 6/6
目标：综合上下界得出极限
由上界估计得 \( \limsup \le M \)，由下界估计得 \( \liminf \ge M \)，因此极限存在且等于 \( M \)。当 \( M=0 \) 时也符合此结论。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( \iint_D f^n \right)^{1/n} = M = \max_{(x,y)\in D} f(x,y)
提示：夹逼原理是处理此类极限的常用方法。
步骤 7/7
目标：综合结论
综上，极限等于 $f$ 在 $D$ 上的最大值 $M$，即
$$
\lim_{n\to\infty} \left(\iint_D f^n(x,y) dxdy\right)^{1/n} = \max_{(x,y)\in D} f(x,y).
$$
提示：最终结果简洁，但注意M=0时也成立。
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