华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
5．若函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有定义，在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 也存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件，明确要证明的结论
题目给出：函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有定义，在 $(-1,0) \cup (0,1)$ 上可导，且 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 存在。要判断是否 $f'(0)$ 也存在。我们需要检查 $f$ 在 $x=0$ 处的可导性，即极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ 是否存在。
公式：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$
提示：注意：可导必连续，因此若 $f'(0)$ 存在，则 $f$ 在 $0$ 处连续。但题目未直接给出连续性。
步骤 2/5
目标：尝试利用导数极限存在证明连续性
设 $\lim_{x \to 0} f'(x) = A$。对于任意 $0 < x_1 < x_2$ 充分小，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_1) = f'(\xi)(x_2-x_1)$。由于 $|\xi|$ 很小，$|f'(\xi)-A| < \varepsilon$，故 $|f(x_2)-f(x_1)| \leq (|A|+\varepsilon)|x_2-x_1|$。这说明当 $x_1, x_2 \to 0$ 时，$f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的差可任意小，由柯西收敛准则，$\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，记该极限为 $L$。
公式：$\lim_{x \to 0} f(x) = L$ 存在
提示：这里只证明了 $f(x)$ 在 $x \to 0$ 时有极限，但并未要求 $f(0)$ 等于该极限。
步骤 3/5
目标：指出连续性不必然成立
题目中 $f(0)$ 是给定的一个值，不一定等于上述极限 $L$。若 $f(0) \neq L$，则 $f$ 在 $x=0$ 处不连续，从而 $f'(0)$ 不存在。而条件 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 存在只涉及 $x \neq 0$ 时的导数，与 $f(0)$ 的取值无关，因此条件不能强制 $f(0)=L$。
公式：若 $f(0) \neq \lim_{x \to 0} f(x)$，则 $f$ 在 $0$ 处不连续
提示：这是本题的关键：导数极限存在不能保证函数值在零点连续，因为零点函数值可以任意指定。
步骤 4/5
目标：构造反例证明命题为假
构造函数：令 $f(0)=1$，当 $x \neq 0$ 时 $f(x)=0$。则 $f$ 在 $(-1,0) \cup (0,1)$ 上可导，且 $f'(x)=0$，故 $\lim_{x \to 0} f'(x)=0$ 存在。但 $f$ 在 $x=0$ 处不连续（因为 $\lim_{x \to 0} f(x)=0 \neq f(0)=1$），所以 $f'(0)$ 不存在。因此原命题错误。
公式：反例：$f(x)=\begin{cases} 1, & x=0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases}$
提示：反例说明即使导数极限存在，零点函数值的跳跃也会破坏可导性。
步骤 5/5
目标：总结结论
该命题不成立。题目条件不能推出 $f'(0)$ 存在，因为缺少 $f$ 在 $0$ 处连续的前提。
公式：结论：$\lim_{x \to 0} f'(x)$ 存在 $\not\Rightarrow$ $f'(0)$ 存在
提示：注意区分导数极限与点导数：前者是导函数在零点附近的极限，后者是差商极限，两者不同。
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