华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
14．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且存在常数 $\tau \in(0,1)$ 满足 $\forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，使得 $|f(x)| \leqslant \tau|f(y)|$ ，证明：存在 $\xi \in[a, b]$ 使得 $f(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设结论不成立，导出矛盾
假设对任意 $x \in [a,b]$，都有 $f(x) \neq 0$。由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $|f(x)|$ 也在 $[a,b]$ 上连续，从而可取到最小值。记 $m = \min_{x \in [a,b]} |f(x)|$。由假设 $f(x) \neq 0$，知 $m > 0$。
公式：$m = \min_{x \in [a,b]} |f(x)| > 0$
提示：注意闭区间上连续函数必有最值，且由假设零点不存在，最小值必为正数。
步骤 2/6
目标：利用条件构造不等式
取 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $|f(x_0)| = m$。由题设条件，存在 $y_0 \in [a,b]$ 满足 $|f(x_0)| \le \tau |f(y_0)|$，即 $m \le \tau |f(y_0)|$，从而 $|f(y_0)| \ge \frac{m}{\tau}$。由于 $\tau \in (0,1)$，有 $\frac{m}{\tau} > m$，故 $|f(y_0)| > m$。
公式：$m \le \tau |f(y_0)| \Rightarrow |f(y_0)| \ge \frac{m}{\tau} > m$
提示：这里 $y_0$ 不一定是最小值点，但绝对值更大，为后续迭代提供基础。
步骤 3/6
目标：迭代构造点列
对 $y_0$ 再次应用题设条件，存在 $y_1 \in [a,b]$ 使得 $|f(y_0)| \le \tau |f(y_1)|$。依此类推，得到点列 $\{y_n\} \subset [a,b]$ 满足 $|f(y_n)| \le \tau |f(y_{n+1})|$ 对所有 $n \ge 0$ 成立。
公式：$|f(y_n)| \le \tau |f(y_{n+1})|$
提示：每次迭代都保证存在下一个点，且绝对值严格递增（因为 $\tau<1$）。
步骤 4/6
目标：推导下界不等式
由递推关系可得：$m = |f(x_0)| \le \tau |f(y_0)| \le \tau^2 |f(y_1)| \le \cdots \le \tau^{n+1} |f(y_n)|$。因此 $|f(y_n)| \ge \frac{m}{\tau^{n+1}}$。
公式：$|f(y_n)| \ge \frac{m}{\tau^{n+1}}$
提示：注意不等号方向，每次乘以 $\tau$ 后不等式方向不变。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由于 $\tau \in (0,1)$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{m}{\tau^{n+1}} \to +\infty$，故 $|f(y_n)|$ 无界。但 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，从而 $|f(x)|$ 有界，矛盾。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{m}{\tau^{n+1}} = +\infty$
提示：闭区间上连续函数必有界，这是基本性质，与无界性矛盾说明假设错误。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，即存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi)=0$。
公式：$\exists \xi \in [a,b], f(\xi)=0$
提示：结论得证，注意零点存在性由反证法保证。
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