华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
9．将 $f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $(0,1)$ 上展成余弦级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确余弦级数展开形式与系数公式
题目要求在区间 $(0,1)$ 上将 $f(x)=(x-1)^2$ 展开成余弦级数。余弦级数对应偶延拓，需将函数先偶延拓到 $(-1,1)$，再周期延拓，周期为 $2$。标准傅里叶余弦级数形式为：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\pi x)$$
其中系数公式为：
$$a_0 = 2 \int_0^1 f(x) \, dx$$
$$a_n = 2 \int_0^1 f(x) \cos(n\pi x) \, dx$$
公式：$$a_0 = 2 \int_0^1 f(x) \, dx, \quad a_n = 2 \int_0^1 f(x) \cos(n\pi x) \, dx$$
提示：注意区间长度为 $1$，因此余弦级数中自变量为 $n\pi x$，而非 $n\pi x / L$ 形式。
步骤 2/7
目标：计算系数 $a_0$
计算 $a_0$：
$$a_0 = 2 \int_0^1 (x-1)^2 \, dx$$
令 $t = x-1$，或直接计算：
$$\int_0^1 (x-1)^2 \, dx = \int_0^1 (1-x)^2 \, dx = \left[-\frac{(1-x)^3}{3}\right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$$
因此：
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
公式：$$a_0 = \frac{2}{3}$$
提示：注意 $(x-1)^2 = (1-x)^2$，积分时利用对称性可简化计算。
步骤 3/7
目标：计算系数 $a_n$ 并化简积分
计算 $a_n$：
$$a_n = 2 \int_0^1 (x-1)^2 \cos(n\pi x) \, dx$$
令 $u = 1-x$，则 $x = 1-u$，$dx = -du$，积分限变换：$x=0 \to u=1$，$x=1 \to u=0$，于是：
$$a_n = 2 \int_1^0 u^2 \cos(n\pi (1-u)) (-du) = 2 \int_0^1 u^2 \cos(n\pi - n\pi u) \, du$$
利用三角恒等式 $\cos(n\pi - n\pi u) = \cos(n\pi)\cos(n\pi u) + \sin(n\pi)\sin(n\pi u) = (-1)^n \cos(n\pi u)$，得：
$$a_n = 2(-1)^n \int_0^1 u^2 \cos(n\pi u) \, du$$
公式：$$a_n = 2(-1)^n \int_0^1 u^2 \cos(n\pi u) \, du$$
提示：换元后注意积分限的变化，以及 $\cos(n\pi - \theta)$ 的化简，$\sin(n\pi)=0$ 是关键。
步骤 4/7
目标：计算积分 $\int_0^1 u^2 \cos(n\pi u) \, du$
令 $k = n\pi$，计算 $I = \int_0^1 u^2 \cos(k u) \, du$。使用分部积分法：
第一次分部：令 $p = u^2$，$dq = \cos(k u) du$，则 $dp = 2u du$，$q = \frac{\sin(k u)}{k}$，得：
$$\int u^2 \cos(k u) du = \frac{u^2 \sin(k u)}{k} - \int \frac{2u \sin(k u)}{k} du$$
第二次分部：对 $\int u \sin(k u) du$，令 $p = u$，$dq = \sin(k u) du$，则 $dp = du$，$q = -\frac{\cos(k u)}{k}$，得：
$$\int u \sin(k u) du = -\frac{u \cos(k u)}{k} + \int \frac{\cos(k u)}{k} du = -\frac{u \cos(k u)}{k} + \frac{\sin(k u)}{k^2}$$
代回得原函数：
$$\int u^2 \cos(k u) du = \frac{u^2 \sin(k u)}{k} + \frac{2u \cos(k u)}{k^2} - \frac{2\sin(k u)}{k^3}$$
代入上下限 $u=1$ 和 $u=0$：
- 当 $u=1$ 时，$\sin(k)=\sin(n\pi)=0$，$\cos(k)=\cos(n\pi)=(-1)^n$，故第一项为 $0$，第二项为 $\frac{2(-1)^n}{k^2}$，第三项为 $0$。
- 当 $u=0$ 时，三项均为 $0$。
因此：
$$\int_0^1 u^2 \cos(n\pi u) \, du = \frac{2(-1)^n}{(n\pi)^2}$$
公式：$$\int_0^1 u^2 \cos(n\pi u) \, du = \frac{2(-1)^n}{n^2 \pi^2}$$
提示：分部积分时注意符号，代入上下限时 $\sin(n\pi)=0$ 和 $\cos(n\pi)=(-1)^n$ 是简化关键。
步骤 5/7
目标：得到 $a_n$ 的表达式
将积分结果代入 $a_n$ 表达式：
$$a_n = 2(-1)^n \cdot \frac{2(-1)^n}{n^2 \pi^2} = \frac{4}{n^2 \pi^2}$$
因为 $(-1)^n \cdot (-1)^n = 1$。
公式：$$a_n = \frac{4}{n^2 \pi^2}$$
提示：注意 $(-1)^n$ 的乘积结果为 $1$，不要遗漏系数 $4$。
步骤 6/7
目标：写出余弦级数展开式
将 $a_0$ 和 $a_n$ 代入余弦级数形式：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\pi x) = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos(n\pi x), \quad x \in (0,1)$$
公式：$$f(x) = \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\pi x)}{n^2}, \quad x \in (0,1)$$
提示：注意 $a_0/2 = 1/3$，级数中 $\cos(n\pi x)$ 的系数是 $\frac{4}{n^2 \pi^2}$。
步骤 7/7
目标：利用展开式证明 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
取 $x=0$，此时 $f(0) = (0-1)^2 = 1$。由于偶延拓后函数在 $x=0$ 处连续，级数收敛到函数值，代入展开式：
$$1 = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos(0)$$
$\cos(0)=1$，所以：
$$1 - \frac{1}{3} = \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$
解得：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
公式：$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
提示：取 $x=0$ 时需验证级数收敛性，此处由于函数连续且傅里叶级数一致收敛，可直接代入。注意 $\cos(0)=1$。
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