华东师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
15．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续可微，且
$$
f(x+1)-f(x)=f^{\prime}(x), \quad \forall x \in[a,+\infty), \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A
$$
证明：$f^{\prime}(x) \equiv A, \forall x \in[a,+\infty)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由已知条件导出导数的递推关系
已知对任意 $x \ge a$ 有 $f(x+1)-f(x)=f'(x)$。两边对 $x$ 求导，左边为 $f'(x+1)-f'(x)$，右边为 $f''(x)$，因此得到：
$$f'(x+1)-f'(x)=f''(x)$$ 即 $$f'(x+1)=f'(x)+f''(x)$$
公式：f'(x+1)=f'(x)+f''(x)
提示：注意求导时左边是差分的导数，不要遗漏项。
步骤 2/5
目标：引入辅助函数并利用极限条件
令 $g(x)=f'(x)-A$，则 $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$。由第一步的递推关系，$g$ 也满足：
$$g(x+1)-g(x)=f'(x+1)-f'(x)=f''(x)=g'(x)$$ 即 $$g(x+1)=g(x)+g'(x)$$
公式：g(x+1)=g(x)+g'(x)
提示：辅助函数将极限条件转化为趋于零的条件，便于后续分析。
步骤 3/5
目标：反证法假设存在非零点
假设存在 $x_0$ 使得 $g(x_0)=c\neq0$。不妨设 $c>0$（$c<0$ 同理）。考虑 $g$ 在 $x_0$ 处的行为。由 $g(x+1)=g(x)+g'(x)$，若 $g'(x_0)\ge0$，则 $g(x_0+1)\ge g(x_0)>0$，递推可得 $g(x_0+n)\ge g(x_0)>0$ 对所有正整数 $n$ 成立，这与 $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ 矛盾。
公式：g(x_0+n) \ge g(x_0) > 0
提示：注意这里只处理了导数非负的情况，需要继续讨论导数负的情况。
步骤 4/5
目标：处理导数负的情况，利用极值点导出矛盾
若 $g'(x_0)<0$，则 $g$ 在 $x_0$ 处下降。由于 $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$，$g$ 在无穷远处趋于零，因此 $g$ 在 $[x_0,+\infty)$ 上必有正的最大值点（因为 $g(x_0)>0$ 且最终趋于0）。设 $x^*$ 是 $g$ 的一个正的最大值点，则 $g'(x^*)=0$，代入方程得 $g(x^*+1)=g(x^*)$。重复此过程可得 $g(x^*+n)=g(x^*)>0$ 对所有正整数 $n$ 成立，与极限为零矛盾。
公式：g(x^*+1)=g(x^*) \Rightarrow g(x^*+n)=g(x^*)
提示：极值点处导数为零是关键，利用递推得到常数序列，与极限矛盾。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
由反证法，假设不成立，故 $g(x)\equiv0$，即 $f'(x)\equiv A$ 对所有 $x\in[a,+\infty)$ 成立。
公式：f'(x) \equiv A, \forall x \in [a,+\infty)
提示：结论直接由辅助函数恒为零得到。
步骤 6/6
目标：利用极限条件确定常数
由 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=A$ 以及 $f'(x)=C$，得 $C=A$。因此 $f'(x)\equiv A$ 对所有 $x\in[a,+\infty)$ 成立。
公式：\lim_{x\to+\infty}f'(x)=A \Rightarrow C=A
提示：常数函数的极限就是它本身。
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