华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限转化为指数形式
设所求极限为 $L$，即 $L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)^n$。为处理幂指型极限，两边取自然对数，得 $\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)$。
公式：$\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)$
提示：幂指型极限通常取对数处理，注意 $f(a) \neq 0$ 保证对数有意义。
步骤 2/5
目标：分析条件并确定参数 a 的值
题目给出函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处可导，而极限表达式中出现 $f(a+1/n)$ 和 $f(a)$。若 $a \neq 0$，则无法利用可导条件。因此推测题目本意是 $a=0$（常见题型），此时 $f(0) \neq 0$。后续步骤按 $a=0$ 推导。
公式：令 $a=0$，则 $\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{f(1/n)}{f(0)} \right)$
提示：注意题目条件与表达式的匹配性，可导点 $x=0$ 提示 $a$ 很可能为 $0$。
步骤 3/5
目标：变量代换将极限转化为导数形式
令 $t = 1/n$，则 $n \to \infty$ 对应 $t \to 0^+$，于是 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(f(t)/f(0))}{t}$。
公式：$\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(f(t)/f(0))}{t}$
提示：代换后注意极限方向为 $t \to 0^+$，但可导性保证左右极限一致。
步骤 4/5
目标：利用可导性进行等价无穷小展开
由于 $f$ 在 $x=0$ 处可导且 $f(0) \neq 0$，则 $f(t) = f(0) + f'(0)t + o(t)$。于是 $\frac{f(t)}{f(0)} = 1 + \frac{f'(0)}{f(0)}t + o(t)$。取对数得 $\ln\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right) = \frac{f'(0)}{f(0)}t + o(t)$。
公式：$\ln\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right) \sim \frac{f'(0)}{f(0)}t \quad (t \to 0)$
提示：使用 $\ln(1+u) \sim u$ 时需保证 $u \to 0$，这里由可导性保证。
步骤 5/5
目标：计算极限并还原指数形式
代入得 $\ln L = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{f'(0)}{f(0)}t + o(t)}{t} = \frac{f'(0)}{f(0)}$。因此 $L = e^{f'(0)/f(0)}$。
公式：$L = e^{\frac{f'(0)}{f(0)}}$
提示：最终结果依赖于 $f(0) \neq 0$ 和 $f'(0)$ 存在，注意 $f'(0)$ 可能为负数。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
所以原极限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(a+1/n)}{f(a)} \right)^n = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
提示：结果与 $f(a)$ 的符号无关，因为指数中分母为 $f(a)$，但若 $f(a)<0$，则 $\ln f(a)$ 无定义，此时需考虑 $|f|$ 或复对数，但通常题目隐含 $f(a)>0$。
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