📝 华东师范大学 2022年数学分析真题

1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n}
$$

2．判断极限

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1}
$$

的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

3．求不定积分

$$
\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x
$$

4．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle e^{2 y z}+x+y^{2}+z=\frac{7}{4}$ 所确定，求 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)},\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}$ ．

5．计算曲面积分：

$$
\iint_{\Sigma}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leq z \leq 1)$ ，方向取上侧。

6．（1）．证明：当 $x>0$ 时，

$$
\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)$$

（2）．设

$$
a_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n, \quad n=1,2, \ldots,
$$

证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

7．讨论函数

$$
f(x)= \begin{cases}x(1-x), & x \text { 为有理数, } \\ x(1+x), & x \text { 为无理数, }\end{cases}
$$

的连续性与可微性．

8．设 $n$ 是正整数，证明方程 $x^{n}+n x-1=0$ 有唯一的正实数根 $x_{n}$ ．进而，判断级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} x_{n}^{\alpha}(\alpha>1)$的玫散性。

9．已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 上有界，且 $\forall x \in(-\delta, \delta)$ ，有 $f(x)=3 f(x / 2)$ ．证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．

10．设 $f(x, y)$ 在 $[0,+\infty)$ 和 $[c, d]$ 上连续，且无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[c, d)$ 上一致收敛．证明：无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x, d) \mathrm{d} x$ 收敛。

11．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \ldots$ 证明：
（1）．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处收玫，并给出其极限函数．
（2）．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何有限区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

12．已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负连续，且严格递增，并对任意正整数 $n$ ，存在 $x_{n} \in[a, b]$ ，使得

$$
f^{n}\left(x_{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x
$$

证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。