华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $f(x, y)$ 在 $[0,+\infty)$ 和 $[c, d]$ 上连续，且无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[c, d)$ 上一致收敛．证明：无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x, d) \mathrm{d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和证明目标
已知 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty)\times[c,d]$ 上连续，且无穷积分 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dx$ 在 $[c,d)$ 上一致收敛。需要证明 $\int_0^{+\infty} f(x,d)\,dx$ 收敛。
提示：注意一致收敛性只给到半开区间 $[c,d)$，不包括端点 $y=d$。
步骤 2/5
目标：利用一致收敛性得到柯西条件
由一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$，使得对所有 $A_2>A_1>X$ 和所有 $y\in[c,d)$，有 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\forall A_2>A_1>X,\forall y\in[c,d):\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}
提示：这里 $X$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $y$。
步骤 3/5
目标：固定区间并考虑含参积分函数
固定满足 $A_2>A_1>X$ 的 $A_1,A_2$，定义函数 $F(y)=\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)\,dx$。由于 $f$ 在闭矩形 $[A_1,A_2]\times[c,d]$ 上连续，根据含参积分连续性定理，$F(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。
公式：F(y)=\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)\,dx
提示：有限区间上的含参积分，被积函数连续则积分关于参数连续。
步骤 4/5
目标：利用连续性将不等式延拓到端点
由连续性，$\lim_{y\to d^-} F(y)=F(d)=\int_{A_1}^{A_2} f(x,d)\,dx$。又因为对所有 $y\in[c,d)$ 有 $|F(y)|<\frac{\varepsilon}{2}$，取极限得 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,d)\,dx\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$。
公式：\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,d)\,dx\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
提示：极限过程保持不等式，注意是 $\leq$。
步骤 5/5
目标：由柯西准则得出收敛结论
上述推导表明：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$，使得只要 $A_2>A_1>X$，就有 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,d)\,dx\right|<\varepsilon$。这正是无穷积分 $\int_0^{+\infty} f(x,d)\,dx$ 收敛的柯西准则。因此该积分收敛。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\forall A_2>A_1>X:\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,d)\,dx\right|<\varepsilon
提示：柯西收敛准则是判断无穷积分收敛的充要条件。
步骤 6/6
目标：合并估计得到柯西准则
于是 $|I(d)| = \left|\int_{A'}^{A''} f(x,d)\,dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意，且 $A_0$ 与 $A',A''$ 的取法无关，这恰好验证了柯西收敛准则，因此 $\int_0^{+\infty} f(x,d)\,dx$ 收敛。
公式：\left|\int_{A'}^{A''} f(x,d)\,dx\right| < \varepsilon, \quad \forall A',A''>A_0
提示：这里 $A_0$ 由一致收敛性给出，与 $y$ 无关，因此对 $y=d$ 也适用。
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