华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle e^{2 y z}+x+y^{2}+z=\frac{7}{4}$ 所确定，求 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)},\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定给定点对应的 \(z\) 值
将 \(x = \\frac{1}{2}, y = \\frac{1}{2}\) 代入方程 \(e^{2yz} + x + y^2 + z = \\frac{7}{4}\)，得到：\n\\[ e^{2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot z} + \\frac{1}{2} + \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 + z = \\frac{7}{4} \\]\n化简得：\n\\[ e^{z} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} + z = \\frac{7}{4} \\]\n\\[ e^{z} + \\frac{3}{4} + z = \\frac{7}{4} \\]\n\\[ e^{z} + z = 1 \\]\n观察得 \(z = 0\) 满足方程，因此点 \(\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)\) 对应的 \(z = 0\)。
公式：代入法求解隐函数在某点的函数值
提示：注意代入后要化简方程，通过观察或试值法找到满足条件的 \(z\) 值。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\) 在给定点的值
方程两边对 \(x\) 求偏导，视 \(z\) 为 \(x, y\) 的函数：\n\\[ \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left( e^{2yz} + x + y^2 + z \\right) = \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left( \\frac{7}{4} \\right) \\]\n\\[ e^{2yz} \\cdot 2y \\frac{\\partial z}{\\partial x} + 1 + 0 + \\frac{\\partial z}{\\partial x} = 0 \\]\n整理得：\n\\[ (2y e^{2yz} + 1) \\frac{\\partial z}{\\partial x} = -1 \\]\n所以：\n\\[ \\frac{\\partial z}{\\partial x} = \\frac{-1}{2y e^{2yz} + 1} \\]\n代入 \(x = \\frac{1}{2}, y = \\frac{1}{2}, z = 0\)：\n\\[ \\left. \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = \\frac{-1}{2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot e^0 + 1} = \\frac{-1}{1 + 1} = -\\frac{1}{2} \\]
公式：隐函数求导法则：\(F(x, y, z) = 0\) 时，\(\\frac{\\partial z}{\\partial x} = -\\frac{F_x}{F_z}\)
提示：对 \(x\) 求导时，\(y\) 视为常数，\(z\) 是 \(x\) 的函数，注意链式法则。
步骤 3/5
目标：求一阶偏导数 \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\) 在给定点的值
方程两边对 \(y\) 求偏导：\n\\[ \\frac{\\partial}{\\partial y} \\left( e^{2yz} + x + y^2 + z \\right) = 0 \\]\n\\[ e^{2yz} \\cdot 2 \\left( z + y \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\right) + 0 + 2y + \\frac{\\partial z}{\\partial y} = 0 \\]\n展开得：\n\\[ 2z e^{2yz} + 2y e^{2yz} \\frac{\\partial z}{\\partial y} + 2y + \\frac{\\partial z}{\\partial y} = 0 \\]\n合并含 \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\) 的项：\n\\[ (2y e^{2yz} + 1) \\frac{\\partial z}{\\partial y} = -2z e^{2yz} - 2y \\]\n所以：\n\\[ \\frac{\\partial z}{\\partial y} = \\frac{-2z e^{2yz} - 2y}{2y e^{2yz} + 1} \\]\n代入 \(x = \\frac{1}{2}, y = \\frac{1}{2}, z = 0\)：\n分子：\(-2 \\cdot 0 \\cdot 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{2} = -1\)，分母：\(2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 + 1 = 2\)，因此：\n\\[ \\left. \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = -\\frac{1}{2} \\]
公式：隐函数求导法则：\(\\frac{\\partial z}{\\partial y} = -\\frac{F_y}{F_z}\)
提示：对 \(y\) 求导时，注意 \(e^{2yz}\) 的复合函数求导，要乘以 \(2(z + y z_y)\)。
步骤 4/5
目标：求全微分 \(\\left. \\mathrm{d}z \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})}\)
全微分公式为：\n\\[ \\mathrm{d}z = \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\mathrm{d}x + \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\mathrm{d}y \\]\n代入已求得的一阶偏导数值：\n\\[ \\left. \\mathrm{d}z \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = -\\frac{1}{2} \\mathrm{d}x - \\frac{1}{2} \\mathrm{d}y \\]
公式：全微分公式：\(\\mathrm{d}z = z_x \\mathrm{d}x + z_y \\mathrm{d}y\)
提示：全微分是线性组合，直接代入偏导数值即可。
步骤 5/5
目标：求二阶混合偏导数 \(\\left. \\frac{\\partial^2 z}{\\partial x \\partial y} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})}\)
由 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x} = - (2y e^{2yz} + 1)^{-1}\)，记 \(A = 2y e^{2yz} + 1\)，则 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x} = -A^{-1}\)。对 \(y\) 求偏导：\n\\[ \\frac{\\partial^2 z}{\\partial y \\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y} \\left( -A^{-1} \\right) = A^{-2} \\frac{\\partial A}{\\partial y} \\]\n计算 \(\\frac{\\partial A}{\\partial y}\)：\n\\[ A = 2y e^{2yz} + 1 \\]\n\\[ \\frac{\\partial A}{\\partial y} = 2 e^{2yz} + 2y \\cdot e^{2yz} \\cdot 2 \\left( z + y \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\right) = 2 e^{2yz} \\left[ 1 + 2y \\left( z + y \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\right) \\right] \\]\n代入点 \(\\left( \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, 0 \\right)\)，且 \(\\left. \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = -\\frac{1}{2}\)，\(e^{2yz} = e^0 = 1\)：\n括号内：\(z + y \\frac{\\partial z}{\\partial y} = 0 + \\frac{1}{2} \\cdot \\left( -\\frac{1}{2} \\right) = -\\frac{1}{4}\)，\n\(2y \\cdot (\\cdots) = 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\left( -\\frac{1}{4} \\right) = -\\frac{1}{4}\)，\n\(1 + (-\\frac{1}{4}) = \\frac{3}{4}\)，\n所以 \(\\frac{\\partial A}{\\partial y} = 2 \\cdot 1 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{3}{2}\)。\n又 \(A = 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 + 1 = 2\)，故 \(A^{-2} = \\frac{1}{4}\)。\n因此：\n\\[ \\left. \\frac{\\partial^2 z}{\\partial y \\partial x} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{3}{2} = \\frac{3}{8} \\]\n由于混合偏导连续，与顺序无关，所以 \(\\left. \\frac{\\partial^2 z}{\\partial x \\partial y} \\right|_{(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})} = \\frac{3}{8}\)。
公式：混合偏导计算：\(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)\)，利用隐函数求导结果
提示：计算 \(\\frac{\\partial A}{\\partial y}\) 时，注意 \(e^{2yz}\) 对 \(y\) 的导数包含 \(z\) 和 \(z_y\)，代入数值时要小心符号和分数运算。
步骤 6/6
目标：代入已知点求混合偏导数值
在点 $(\frac12,\frac12,0)$ 处，$z=0$，$e^{2yz}=1$，且由 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y+2z e^{2yz}}{1+2y e^{2yz}}$ 得 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2\cdot\frac12+0}{1+2\cdot\frac12\cdot1} = -\frac{1}{2}$。代入上式：分子 $= 2\cdot1 + 0 + 2\cdot\frac12\cdot1\cdot2\cdot\frac12\cdot(-\frac12) = 2 - \frac12 = \frac32$，分母 $= (1+1)^2 = 4$，所以 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{3/2}{4} = \frac{3}{8}$。
提示：代入时注意各项的数值，尤其是 $2y e^{2yz} \cdot 2y \frac{\partial z}{\partial y}$ 项中 $2y$ 的乘积。
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