华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．计算曲面积分：
$$
\iint_{\Sigma}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leq z \leq 1)$ ，方向取上侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与方向，拆分积分
曲面为 $\Sigma: z = x^2 + y^2, \ 0 \le z \le 1$，方向取上侧。原积分为 $\iint_{\Sigma} (2x+z) \, dy\,dz + z \, dx\,dy$，拆分为两项：$I_1 = \iint_{\Sigma} (2x+z) \, dy\,dz$，$I_2 = \iint_{\Sigma} z \, dx\,dy$。
公式：$I = I_1 + I_2$
提示：注意第二类曲面积分的方向影响正负号，上侧法向量指向z轴正方向。
步骤 2/5
目标：计算 $I_2 = \iint_{\Sigma} z \, dx\,dy$
由于方向取上侧，投影到 $xy$ 平面取正号。曲面 $z = x^2 + y^2$ 在 $0 \le z \le 1$ 对应投影区域 $D: x^2 + y^2 \le 1$。于是 $I_2 = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy$。使用极坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分区域 $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$，得 $I_2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\iint_{\Sigma} z \, dx\,dy = \iint_D (x^2+y^2) \, dx\,dy = \frac{\pi}{2}$
提示：投影区域是圆盘，极坐标计算时注意 $r^2 \cdot r = r^3$。
步骤 3/5
目标：将 $I_1$ 转化为 $xy$ 平面上的二重积分
对于 $I_1 = \iint_{\Sigma} (2x+z) \, dy\,dz$，利用第二类曲面积分与第一类的关系：上侧曲面 $z=f(x,y)=x^2+y^2$ 的方向余弦 $\cos\alpha = \frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，且 $dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy$，故 $\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz = \iint_D P \cdot (-f_x) \, dx\,dy$。这里 $P = 2x+z = 2x + x^2 + y^2$，$f_x = 2x$，所以 $I_1 = \iint_D (2x + x^2 + y^2) \cdot (-2x) \, dx\,dy = -2 \iint_D (2x^2 + x^3 + x y^2) \, dx\,dy$。
公式：$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz = \iint_D P \cdot (-f_x) \, dx\,dy$
提示：注意转换公式中 $dy\,dz$ 项对应 $-f_x$，方向为上侧时符号正确。
步骤 4/5
目标：利用对称性化简 $I_1$
积分区域 $D$ 是圆盘，关于 $x$ 轴对称。$x^3$ 和 $x y^2$ 是 $x$ 的奇函数，在对称区域上积分为零。因此 $I_1 = -2 \iint_D 2x^2 \, dx\,dy = -4 \iint_D x^2 \, dx\,dy$。由对称性，$\iint_D x^2 \, dx\,dy = \iint_D y^2 \, dx\,dy$，且 $\iint_D (x^2+y^2) \, dx\,dy = \frac{\pi}{2}$（已由 $I_2$ 计算），故 $\iint_D x^2 \, dx\,dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。代入得 $I_1 = -4 \cdot \frac{\pi}{4} = -\pi$。
公式：$\iint_D x^2 \, dx\,dy = \frac{\pi}{4}$，$I_1 = -\pi$
提示：奇函数在对称区域积分为零是简化关键，注意 $x^2$ 是偶函数需单独计算。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加：$I = I_1 + I_2 = -\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$。
公式：$I = -\dfrac{\pi}{2}$
提示：注意两项符号，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：相减得到原曲面积分
原曲面积分等于封闭曲面积分减去补面曲面积分：
$$
\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{3\pi}{2} - (-\pi) = \frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2}.
$$
提示：注意减去补面时，补面本身积分值为负，所以减负得正。
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